3.7.2. Модель прийняття рішень в умовах невизначеності

Розглянемо модель прийняття рішення інвестором про будівництво об'єкту в певному місті (множина цих місць обмежена містобудівельними рішеннями, вартістю землі тощо). Приймаючи -те рішення, інвестор очікує отримати доход hj при реалізації j -ї ситуації в момент завершення будівництва. Множина можливих ситуацій може бути формалізована на ретроспективній базі. Матриця H = ||hj ||, і = 1,m , j = 1,п є матрицею доходів.

Тоді при відомій ситуації j на ринку інвестор прийняв б рішення, яке максимізує його доход

h} = maxhv.         (3.29)

Приймаючи i -те рішення, інвестор може отримати доход, який відрізняється від максимального, що, як відомо, приймається за величину ризику ry і -го рішення:

гу = hj - h,ij = max h,ij - hy.   (3.30)

З урахуванням ризиків інвестор прийме рішення на основі одного з критеріїв ефективності, розглянутих у п.3.5.

Прийняття рішення інвестором в умовах часткової невизначеності розглядається як випадок з відомим розподілом ймовірностей. Якщо доход інвестора прийняття i -го рішення щодо будівництва представляє собою випадкову величину Ht з розподілом P = (p1 ,p2,...,pm) , то очікуваний доход (математичне очікування) дорівнює

п

м (ні) = £ V/         (3.31)

j=1

причому слід шукати рішення, при якому досягається максимум M(H)

п

max М (Ht) = max ^ htjpj.      (3.32)

' ' ]= і

Другий критерій полягає в мінімізації очікуваного ризику. Якщо ризики R при прийнятті і -го рішення являються випадковими величинами, то рішення інвестором вибирається з умови

min M(Ri) = min ^ r.yps .        (3.33)

j =1

Інше визначення ризиків полягає в оцінюванні середнього квадратичного відхилення (міри розкидання можливих значень доходів інвестора навколо очікуваного середнього):\2(3.34)

v=i

Г =а(Ні) = 4ЩЩ =         - ]Г hjPv

W=1Якщо в якості оцінки обрати ризик r = о(Иі) , тоді інвестор може прийняти рішення на основі оцінки двох критеріїв: середніх очікуваних доходів M(Hj) і ризиків r =о(Иі) , і = 1,т . Якщо при порівнянні і -х рішень серед пар (M(Ht) , rt =о(Ht) , і = 1,m ) існує рішення і0, яке домінує над іншими, таке, що задовольняє нерівностям

M(H. ) > M(H) , r, < r , і = 1,m ,

то воно являється оптимальним.

(3.35)

В противному випадку необхідно будувати множину рішень оптимальних по Парето, тобто які не можуть бути покращені за двома критеріями, і здійснювати вибір серед них.6        3          0        3

6        9        12      0

3        6        3        3

16      12      0        3

наПриклад 3.12. За матрицею доходів H =ймовірностей P =

дати рекомендації інвестору щодо прийняття рішення про будівництво об'єкту в певному місті при відомому розподілу

'1 1 1 1Л

зовнішнього середовища.

у 8 8 2 4у

Розв' язання. Для прийняття рішення за критерієм Вальда запишемо матрицю доходів у вигляді таблиці 3.16 і знайдемо найменше значення тіп h, для кожного рядка.

Таблиця 3.16

 

П1

П2

П3

П4

mmh

j 1

Н,

6

3

0

3

0

Н2

6

9

12

0

0

Н3

3

9

3

3

3

Н4

12

9

0

3

0

Слід вибрати таку стратегію серед стратегій Ні і = (1,4) , яка є найбільш вигідною (оптимальною), тому за формулою (3.12) маємо:

аВ = max(0; 0; 3; 0) = 3 ,

і

що вказує на перевагу стратегії Н3.

Для прийняття рішення за критерієм Севіджа Запишемо матрицю ризиків гри у вигляді таблиці 3.17 і знайдемо найбільше

значення max rv для кожного рядка.

Матриця виграшів гри

Матриця ризиків гри

1 1

Таблиця 3.17

 

П1

П2

П3

П4

maxrv

j 1

Н1

6

6

12

0

12

Н2

6

0

0

3

6

Н3

9

0

9

0

9

Н4

0

0

12

0

12

Слід вибрати таку стратегію серед стратегій Ht i = (1,4) , яка має найменший ризик, тому за формулою (3.18) маємо:

а = min( 12; 6; 9; 12) = 6 ,

і

тобто вибираємо стратегію Н2 , при застосуванні якої величина ризику, що дорівнює 6 одиниць, приймає мінімальне значення у самій гіршій ситуації.

Для прийняття рішення при відомому розподілу ймовірностей111 г

8, 8,2, 4

P =

зовнішнього середовища.Знайдемо для кожної стратегії Ht середній очікуваний доход за формулою (3.32):

M(H) = 6 •1 + 3 •1+0 •1 + 3 •1 =15 -1 , 86 ; 1 8 8 2 4 81

1

1

1 51

M(H2) = 6 — + 9 — +12—+0 — = —- 6 , 36 ; 8 8 2 4 81 1 1 1 27 M(H3) = 3 —+ 9 — + 3—+ 3 — = —- 3, 36;

8 8 2 4 8

1 1 1 1 27 M(H.) = 12 — + 9 — + 0 — + 3 —= —- 3 , 36.

8 8 2 4 8

Знайдемо для кожної стратегії Ht середнє квадратичне відхилення за формулою (3.34):' 1512

V 8 1

л/279

o(H ) =

: 2,08 ;

62.1 + 32.1+02.1 + 32.1 -^51Л 2

71791

a(H2) =

5,29;

62.1 + 92.1 +122.1 + 02.1 -a(H3) = . 32.і + 92.1 + 32.1 + 32.1 -Г27)2 = = 2,03 ;

V 8 8 2 4 І, 8 ) 8

o(HA)= .I122. 1+92. 1+02.1+3'-!-f2712 = >Ш -4,36.

\ 8 8 2 4 f 8 ) 8

Точки, які характеризують множину рішень (o(Ht) , M(Ht) , i = 1,4) наступні:

(1) - (2,08; 1,86), (2) - (5,29; 6,36),

(3) - (2,03; 3,36), (4) - (4,36; 3,36).

З аналізу отриманої множини рішень, яку зображено на двумурній площині (a(Hi) , M(Hi)) (рис.3.3), видно, що рішення (1) і (4) потрібно відкинути, оскільки вони гірші, ніж рішення (3), яке має такий же або більший дохід, але менший ризик.

M(Ht) _

(1)

1 1 і і г

аіН,)

Рисунок 3.3 - Характеристики рішень за двома критеріями - очікуваному доходу і ризику

Рішення (2) характеризується найбільшим доходом, але й максимальнім ризиком. Інвестору потрібно здійснити вибір між рішеннями (2) і (3). Опукла комбінація їх утворює множину Парето оптимальних рішень. На цій границі розташовані ефективні (непо- кращуємі) рішення, і видно, що при зростанні очікуваного доходу потрібно розраховуватися більш високим ризиком.

(3.36)

(3.37)

Для знаходження кращих рішень іноді застосовують зважену функцію F = [M(Hi),&(Hi)~] ,яка визначає краще рішення. Зважена функція може мати, зокрема, лінійну форму:

  • F = [М(Я,-), а(Нг)] = А М(Яг) + В а(Нг),

де параметри А > 0,В > 0 , що визначаються експертним шляхом.

Тоді застосовується рішення i0, при якому досягається максимум зваженої функції

  • F = \М(Я,о ),ст(Я,- )] - тах[Л • М(Я,) + В а(Н,)].

Слід звернути увагу на важливість уточнення розподілу ймовірностей P = (p1,p2,...,pm) на основі соціологічних обстежень, які дозволяють отримати нову оцінку розподілу - P' = (pj',p2 ,...,p'm ) при вартості проведення цього обстеження G .

Тоді рішення, що приймається інвестором, можна визначити з умови, яка представляє собою одномірний критерій M(Ht) :, i = 1,m

(3.38)

max

I Vj-G

j=iВ умові застосування двох критеріїв рішення приймається аналогічно на основі зіставлення значень (M(Ht) — G,o(Hi)), i = 1,m і побудови Парето-оптимальних рішень, а при використанні лінійної зваженої функції знаходження рішення i0 здійснюється з використанням наступної умови:F = [M(H. ),s(H.i)] = max 86

Jn      ( n     \2

I hjp' -1 j'

.(3.39)

j=1 Vj=1Питання для поточного контролю та поглибленого засвоєння знань

В чому полягає економічний смисл невизначеності як поняття?

Якими способами здійснюється урахування невизначеності?

Як використовуються методи теорії ймовірностей при ідентифікації невизначеності?

В чому полягає сутність суб'єктивної ймовірності?

Чим відрізняється статистична невизначеність від неста- тистичної?

Які причини породжують невизначеність?

Які види втрат виникають за умов невизначеності?

Які характерні риси притаманні втратам у виробничому процесі?

Які причини зволікають на втрати в комерційному підприємництві?

Які особливості відрізняють втрати у фінансовому підприємництві?

Що позначають терміном "природа"?

В чому особливість статистичних ігор?

Що таке стратегія гравця?

Дайте визначення платіжної матриці.

Що представляє собою ризик статистика?

Які властивості має матриця ризиків?

В чому полягає сутність критерію прийняття рішень?

В яких випадках застосовують критерій Вальда?

В чому полягає сутність критеріїв оптимізму і песимізму?

В яких випадках застосовують критерій Севіджа?

В яких випадках застосовують критерій Гурвіца?

Чому критерій Гурвіца називають критерієм узагальненого максиміну?

Які критерії можна використовувати для прийняття рішення в умовах часткової невизначеності?

В чому полягає специфіка оптимального планування за умов невизначеності?

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2 ОЦІНКА ЕКОНОМІЧНИХ РИЗИКІВ І СПРЯМОВАНІСТЬ ГОСПОДАРСЬКИХ РІШЕНЬ НА ЇХНЮ МІНІМІЗАЦІЮ