12.3. Змішані стратегії матричної гри : Обгрунтування господарських рішень та оцінювання ризиків : B-ko.com : Книги для студентів

12.3. Змішані стратегії матричної гри

Якщо матрична гра не має сідлової точки, то використання чистих стратегій не дає оптимального рішення гри. Так матрична гра, яку розглянуто у прикладі 12.3, не має сідлової точки. В цьому випадку можна отримати оптимальне рішення, випадково обираючи чисті стратегії.

Якщо матрична гра не має сідлової точки, то виникає необхідність гри в змішаних стратегіях.

Змішаною стратегією SA гравця А називається повний на- бор чистих стратегій A1,A2,...,Am з ймовірностями їх застосування p1,p2,...,pm, причому сума ймовірностей дорівнює одиниці:

m

^ pl = 1. Змішану стратегію SA гравця А записують у вигляді

=1

матриціA1 A2 ... AmЛ

Sa =

(12.7)

vP1 P2 ... Pmде Pi > 0, i = 1, m , Pi - ймовірність використання чистої стратегії Ai ,

(12.8)

Аналогічно стратегію SB гравця В записують у вигляді матриці

/B1 B2 ... B Л

Sb =

q q2

де qj > 0, j = 1, n , ^qj = 1, qj - ймовірність використання

j=1

чистої стратегії Bj .

Змішані стратегії представлять математичну модель мінливої і гнучкої тактики гравця, при якій його противник не може довідатись заздалегідь про те становище, в якому йому доведеться опинитись. Перед кожною партією відбувається випадковий вибір однієї з чистих стратегій з деякою певною і вже визначеною ймовірністю.

Гравці вибирають стратегії випадково і незалежно один від одного, тому гра має випадковий характер і сума виграшу теж стає випадковою.

За принципом мінімаксу (максиміну) визначається оптимальне рішення гри - це пара оптимальних стратегій SA , SB в загальному випадку змішаних, які мають властивість: якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то другому не може бути вигідно відступати від своєї оптимальної стратегії.

Виграш, що відповідає оптимальному рішенню гри, називається ціною гри.

Ціна гри - це об'єктивно можливий середній виграш

vH4 < v < vm .     (12.9)

Основна теорема теорії ігор - теорема Неймана: кожна скінченна гра має хоча б одне оптимальне рішення, можливо серед змішаних стратегій.

Якщо чиста стратегія входить в оптимальну з певною ймовірністю, яка відрізняється від нуля, то вона називається активною стратегією.

Теорема про активні стратегії: якщо один із гравців дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то його виграш залишиться незмінним і буде дорівнювати ціні гри, якщо другий гравець не вийде за границі своїх активних стратегій.

Зміст теореми полягає в тому, що при послідовному дотриманні одним з гравців оптимальної змішаної стратегії, то його виграш не менше ціни гри, незалежно від дій другого гравця, який не вимозі змінити результат гри.