1.4.2. Врахування граничної похибки.

магниевый скраб beletage

Гранична похибка є визначається за формулою:

Є = taO~ = taS~

S X                                      S X

Коефіцієнт tS є функцією вимірювань n та довірчої ймовірності Р (ts = f n, P) і визначається за таблицею розподілу Ст'юдента. Таким чином, довірчі межі, де із заданою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення виміряної величини X:

x - є < X < x + є

Як бачимо, результат вимірювання знаходиться у певних межах ± є, і кількість вимірювань - множина. Межі відхилень дисперсії 5х та середнього квадратичного відхилення Sx (при необхідності в деяких випадках) можна уточнити за допомогою X - розподілу Пірсона:

2 = 2 =(N - 1) Sl .

X f Xn-1                                      2 '

При проведенні великої кількості вимірювань середнє квадратичне відхилення Sx мало відрізняється від значення ox. Ця відмінність тим менша, чим більше n. Якщо кількість вимірювань невелика, то Sx зна­чно відрізняється від ox.

f 1

Диференціальна функція цього розподілу описується за форму­лою:

Px2f (*)=Ґ \ f — - 1

.2 У

де f = n - 1 - кількість степенів свободи; £ -інтервал чисел (1, 2, 3...).

Значення ax середнього квадратичного відхилення результатів ви­мірювань лежать в інтервалі ( s ; S ), межі якого визначаються за

X1 x2

формулами:

-Jn - 1Sx                „ 4r>

Sx1 =                                                                       "               Sx2 ='

Xf;g Xf;1-g 2 • 2

де g - мінімальна ймовірність, яка знаходиться в межах 0,003 - 0,1 для вимірювань з ймовірністю 0,9...0,997.

У технічних вимірюваннях (як лабораторних, так і виробничих) обчислення виконується з ймовірністю Р=0,95; в окремих випадках, коли експеримент неможливо повторити, приймають Р=0,99. Тільки в особливих випадках, якщо результати експерименту впливають на життя і здоров'я людей, слід брати Р=0,997.

При вимірюванні та контролі параметрів навколишнього середо­вища використовують фізичні, фізико-хімічні, біологічні, радіохімічні методи тощо. Як свідчить практика, для їх вимірювання можна обме­житись 20-30 вимірюваннями відповідного параметру. Для обробки результатів вимірювань доцільніше за все використовувати критерії розподілу Ст'юдента.

Графоаналітичний метод перевірки належності сукупності ре­зультатів вимірювання до нормального закону розподілу. Оскільки методи обробки результатів вимірювань Грунтуються на використанні нормального розподілу, перед початком визначення довірчих меж, де з довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення виміряної вели­чини X, бажано переконатись в тому, що дана сукупність відповідає згаданому закону.

Для вибірок з n > 10 обробку результатів експерименту можна здійснювати за так званим складним критерієм, який описаний у ГОСТ 8.201-76. Для порівняно невеликих сукупностей цю перевірку можна здійснити графоаналітичним методом. Для даної вибірки за певними правилами слід побудувати графік емпіричного розподілу, і якщо точ­ки цього графіку розташуються приблизно на прямій лінії, то дана су­купність значень вимірювання відповідає нормальному закону розпо­ділу.

1Sx

Для побудови графіка слід побудувати ранжирований ряд, розміс­тивши значення хі в порядку зростання. Якщо деякі значення в такому варіаційному ряду повторюються, то в робочу таблицю їх записують лише один раз, але вказують кількість цих значень (частота Ш; даної варіанти хі ряду). В наступній графі записують зростаючим підсумком так звані накопичені частоти M1 (сумарна кількість значень m; від по­чатку до хі включно), після чого обчислюють інтеграл Лапласа:

/ > мі 0(zi) ----------- — - 0,5 •

n + 1

Слід визначити значення z;, а потім побудувати графік zi — f(xi ) •

Якщо графік цієї функції приблизно прямолінійний, то можна вважати, що дана вибірка не суперечить нормальному закону розподілу.

Приклад, при аналітичних дослідженнях отримано наступні ре-

Ізультати експерименту: 9,1; 9,3; 9,1; 9,2; 8,4; 9,2; 9,0; 9,1. Слід пере­вірити, чи відповідає ця вибірка нормальному закону розподілу. Результати обчислення перевірки зведено в табл. 1.4.1:

Таблиця 1.4.1. Результати обчислень інтегралу Лапласа

X;

mi

Mi

)-M- -0,5 n +1

Zi

1

8,4

1

1

-0,39

-1,23

2

9,0

1

2

-0,28

-0,77

3

9,1

3

5

0,06

0,15

4

9,2

2

7

0,28

0,77

5

9,3

1

8

0,39

1,23

Вигляд графіка (рис.1.4.2) свідчить про те, що вибірка не відпові­дає нормальному закону розподілу: п'ятий член вибірки х5 = 8,4 викли­кає сумнів, його доцільно перевірити на анормальність за одним з кри­теріїв виявлення грубих помилок.

1.4.3. Виявлення та виключення грубих похибок

Наявність грубих похибок істотно спотворює як результат вимірю­вання, так і його довірчі межі. Ось чому вимірювання, передусім, по­винні бути організовані таким чином, щоб можливість появи грубих похибок була зведена до мінімуму. Необхідно об'єктивно оцінити, чи містить дане вимірювання грубу похибку, чи його відхилення є ре­зультатом випадкового, але цілком закономірного явища. Однак не можна інтуїтивно відкидати сумнівні результати спостережень, навіть якщо хоча б один з них суттєво відрізняється від інших.

Для виявлення грубих похибок результатів вимірювання існує де­кілька критеріїв, таких як: критерій Q,, Романовського, критерій 3S, критерій V та інші.

Для визначення грубих похибок при невеликому числі вимірювань n < 10 може бути використано критерій Q (цей критерій переважно використовують при обробці результатів хімічних та біологічних дос­ліджень).

Критерій Романовського дозволяє визначити грубі похибки (при n ^ ж ) і використовується для обробки результатів вимірювань прак­тично усіх поширених методів вимірювання. Критерій 3S базується на порівнянні (Хі - X) з потрійним середньо квадратичним відхиленням окремих результатів спостереження. Використання цього критерію обмежено через його наближену оцінку грубої похибки. Критерій ви­явлення грубих похибок (V) практично подібний до критерію Романов­ського. Розглянемо більш поширені критерії Q та Романовського.

Критерій Q використовується, як зазначалось раніше, при невели­кому числі вимірювань:

x1 — x2

Q - 1 — 2 ,

xmax xmin

де: х1 — підозріло відокремлене (сумнівне) значення члену вибірки; х2 — сусіднє з ним значення у ранжированому ряду; хmax-хmin — різниця між максимальним і мінімальним значенням членів вибірки у ранжи- рованому ряду.

Обраховану величину Q порівнюють з QTa6n - табличним значен­ням критерію при даних прийнятій ймовірності Р і числі ступенів ві­льності f (табл.1.4.2):

Таблиця 1.4.2.

Числові значення

f

P

f

P

0,9

0,95

0,99

0,9

0,95

0,99

2

0,89

0,94

0,99

6

0,43

0,52

0,64

3

0,68

0,77

0,89

7

0,40

0,48

0,58

4

0,58

0,64

0,76

8

0,37

0,46

0,53

5

0,48

0,56

0,70

9

0,34

0,44

0,48

При аналітичних дослідженнях хімічних та біологічних напрямків Р = 0,95. Число ступенів визначають за формулою: f = n — 1, де n - кількість вимірювань (визначень).

Якщо Q > Q табл , то даний результат містить грубу похибку і його слід виключити з розрахунку середнього арифметичного вимірюваної величини.

Критерій Романовського. Нехай проведено ряд вимірювань, до того ж n вимірювань не викликають сумнів, а n+1 викликає сумнів (суттєво відрізняється від інших). Слід зробити перевірку того, що ре­зультат n+1 при вимірюваннях містить грубу похибку:

♦  визначається середнє арифметичне значення для ряду вимірю­вань від х1 до xn ;

♦  наближене значення середнього квадратичного відхилення ре­зультату вимірювання;

♦ критерієм того, що xn+1 містить грубу похибку, є нерівність:

> hSx

де значення величини h визначається за кількістю вимірювань n та ймовірністюР (( = 1 — P). Дані h наведені в таблиці 1.4.3:

Обрання величини Р здійснюється в залежності від конкретних вимог до результатів експерименту.

Таблиця 1.4.3

Значення h для прямих вимірювань

n

Р

0,05

0,02

0,01

2

15,56

38,97

77,96

4

3,56

5,08

6,53

6

2,78

3,64

4,36

8

2,51

3,18

3,71

10

2,37

2,96

3,41

12

2,29

2,83

3,23

14

2,24

2,74

3,12

16

2,20

2,68

3,04

18

2,17

2,64

3,00

20

2,145

2,60

2,93

да

1,86

2,33

2,56

Приклад, в попередньому прикладі було виявлено, що вибірка не відповідає нормальному закону розподілу. Її п'ятий член (xj) є аномальним .Потрібно перевірити, чи дійсно xj містить грубу похи­бку за одним з критеріїв виявлення грубих похибок. Далі обчислю­

 

,4 - 9,0

0,6

Q -

- 0,66

ється значення Q:

 

9,3 -

Знаходиться Q-^ як функція f,P (Р = 0,95) і перевіряється нерів­ність: за табличними даними знаходимо Q-^ = 0,48 (при f = n- 1= 8-1 = 7). Обчислене значення Q > Q-^, тому резуль­тат спостереження xj містить грубу похибку, його не слід врахову­вати при статистичній обробці результатів.

Далі слід перевірити, чи відповідає вибірка без xj нормальному за­кону розподілу.

0,9

Обчислення, як і в попередньому прикладі, заноситься до таблиці 1.4.4:

Таблиця 1.4.4

Обчислення інтегралу Лапласа

Пі

Хі

mi

M

*(,)- M' -0,5

П + 1

Zi

1

9,0

1

1

-0,37

-1,13

2

9,1

3

4

0

0

3

9,2

2

6

0,25

0,67

4

9,3

1

7

0,37

1,13

За даними xi та zt будуємо графік zt = f (х) (рис. 1.4.3)

Графік Zi = f (хі ) майже прямолінійний, тому можна вважати, що ця новостворена вибірка не суперечить нормальному закону розподілу.