1.4.2. Врахування граничної похибки.

Гранична похибка є визначається за формулою:

Є = taO~ = taS~

S X                                      S X

Коефіцієнт tS є функцією вимірювань n та довірчої ймовірності Р (ts = f n, P) і визначається за таблицею розподілу Ст'юдента. Таким чином, довірчі межі, де із заданою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення виміряної величини X:

x - є < X < x + є

Як бачимо, результат вимірювання знаходиться у певних межах ± є, і кількість вимірювань - множина. Межі відхилень дисперсії 5х та середнього квадратичного відхилення Sx (при необхідності в деяких випадках) можна уточнити за допомогою X - розподілу Пірсона:

2 = 2 =(N - 1) Sl .

X f Xn-1                                      2 '

При проведенні великої кількості вимірювань середнє квадратичне відхилення Sx мало відрізняється від значення ox. Ця відмінність тим менша, чим більше n. Якщо кількість вимірювань невелика, то Sx зна­чно відрізняється від ox.

f 1

Диференціальна функція цього розподілу описується за форму­лою:

Px2f (*)=Ґ \ f — - 1

.2 У

де f = n - 1 - кількість степенів свободи; £ -інтервал чисел (1, 2, 3...).

Значення ax середнього квадратичного відхилення результатів ви­мірювань лежать в інтервалі ( s ; S ), межі якого визначаються за

X1 x2

формулами:

-Jn - 1Sx                „ 4r>

Sx1 =                                                                       "               Sx2 ='

Xf;g Xf;1-g 2 • 2

де g - мінімальна ймовірність, яка знаходиться в межах 0,003 - 0,1 для вимірювань з ймовірністю 0,9...0,997.

У технічних вимірюваннях (як лабораторних, так і виробничих) обчислення виконується з ймовірністю Р=0,95; в окремих випадках, коли експеримент неможливо повторити, приймають Р=0,99. Тільки в особливих випадках, якщо результати експерименту впливають на життя і здоров'я людей, слід брати Р=0,997.

При вимірюванні та контролі параметрів навколишнього середо­вища використовують фізичні, фізико-хімічні, біологічні, радіохімічні методи тощо. Як свідчить практика, для їх вимірювання можна обме­житись 20-30 вимірюваннями відповідного параметру. Для обробки результатів вимірювань доцільніше за все використовувати критерії розподілу Ст'юдента.

Графоаналітичний метод перевірки належності сукупності ре­зультатів вимірювання до нормального закону розподілу. Оскільки методи обробки результатів вимірювань Грунтуються на використанні нормального розподілу, перед початком визначення довірчих меж, де з довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення виміряної вели­чини X, бажано переконатись в тому, що дана сукупність відповідає згаданому закону.

Для вибірок з n > 10 обробку результатів експерименту можна здійснювати за так званим складним критерієм, який описаний у ГОСТ 8.201-76. Для порівняно невеликих сукупностей цю перевірку можна здійснити графоаналітичним методом. Для даної вибірки за певними правилами слід побудувати графік емпіричного розподілу, і якщо точ­ки цього графіку розташуються приблизно на прямій лінії, то дана су­купність значень вимірювання відповідає нормальному закону розпо­ділу.

1Sx

Для побудови графіка слід побудувати ранжирований ряд, розміс­тивши значення хі в порядку зростання. Якщо деякі значення в такому варіаційному ряду повторюються, то в робочу таблицю їх записують лише один раз, але вказують кількість цих значень (частота Ш; даної варіанти хі ряду). В наступній графі записують зростаючим підсумком так звані накопичені частоти M1 (сумарна кількість значень m; від по­чатку до хі включно), після чого обчислюють інтеграл Лапласа:

/ > мі 0(zi) ----------- — - 0,5 •

n + 1

Слід визначити значення z;, а потім побудувати графік zi — f(xi ) •

Якщо графік цієї функції приблизно прямолінійний, то можна вважати, що дана вибірка не суперечить нормальному закону розподілу.

Приклад, при аналітичних дослідженнях отримано наступні ре-

Ізультати експерименту: 9,1; 9,3; 9,1; 9,2; 8,4; 9,2; 9,0; 9,1. Слід пере­вірити, чи відповідає ця вибірка нормальному закону розподілу. Результати обчислення перевірки зведено в табл. 1.4.1:

Таблиця 1.4.1. Результати обчислень інтегралу Лапласа

X;

mi

Mi

)-M- -0,5 n +1

Zi

1

8,4

1

1

-0,39

-1,23

2

9,0

1