1.4.4. Обробка результату багаторазових прямих вимірю­вань

При одноразовому вимірюванні фізичної величини отримати най вірогідніший результат та оцінити його точність надто складно і прак­тично неможливо. Для отримання най вірогіднішого результату вимі­рювання слід перейти до багаторазових вимірювань. Як показує дос­лід, при багаторазовому вимірюванні однієї й тієї ж фізичної величи­ни, проведеному за допомогою одного й того ж приладу, в однакових умовах, з однаковою старанністю, результати спостережень будуть (хоч і не значно) відрізнятись один від одного. Це вказує на те, що при багаторазових вимірюваннях результати спостережень та їх похибки є випадковими величинами. Виникнення випадкових похибок зумовлене спільним впливом на засіб та об'єкт вимірювання багатьох випадкових факторів, між якими практично відсутній взаємозв'язок. Тому багато­разові вимірювання проводять з метою визначення та зменшення ви­падкової складової похибки. При цьому необхідно визначити, яке зна­чення прийняти за кінцевий результат вимірювання. Відповідь на це питання дає математична статистика, для якої ця задача є одним з ви­падків знаходження оцінок числових функцій розподілу.

Нормальний закон розподілу (загальні відомості). З теорії мате­матичної статистики відомо, що за достатньо великої кількості випад­кових величин їх поява підпорядковується певному закону. Якщо по осі абсцис відкласти різні значення випадкових величин X, а по осі ординат відносну кількість величин даного значення (тобто кількість величин даного значення N поділену на загальну їх кількість п), то при п ^ <х> дістанемо криву, зображену на рис.1.4.4.

Ця крива характеризує закон нормального розподілу випадкових величин. В 1809 р. німецький математик Карл Фрідріх Гаус застосував цей закон для аналізу випадкових величин. Аналітична форма норма­льного закону розподілу випадкових величин має вигляд:

-( x

f(x) = —j— e 2° , сгч 2 ж

де v - математичне очікування випадкової величини (центр групу­

вання Ті значень); а2 - дисперсія випадкової величини (розсіювання зна­чень випадкової величини відносно центра групування).

1 n      2

- Z (xi- V

n i=1

Можна вважати, що v збігається з істинним значенням величини Х. Значення ^ та а можна виразити через Хі:

1 n

Vx =- Z xi , ax = n =1

Закон нормального розподілу випадкової величини дає змогу об­числити ймовірність перебування випадкової величини Хі в певних межах. Причому закон нормального розподілу може точно описувати лише нескінченно велику сукупність випадкових похибок (генеральна сукупність). Так як кількість вимірювань не може бути нескінченною, це практично здійснити неможливо. Навіть при достатньо великій кі­лькості вимірювань виникають похибки, зумовлені багатьма фактора­ми (зміною умов проведення вимірювань, суб'єктивними факторами, що впливають на експериментатора тощо).

Як показала практика, в деяких випадках велика кількість вимірю­вань обмежена часом (обробки результатів вимірювань в екстремаль­них ситуаціях). Для вибірки з n значень Хі оцінкою математичного сподівання випадкової величини (її най вірогіднішим значенням) є середня арифметична отриманих результатів спостере­ження:

-                                                                                                 _ 1 n

Vx = x = ~Z Xi

ntf

Отже, середнє арифметичне є більш достовірним значенням, яке можна надати вимірюваній величині. Оскільки за оцінку дійсного зна­чення вимірюваної величини приймають середнє арифметичне резуль­татів спостережень, то і для оцінки випадкових похибок доцільно ви­користовувати відхилення результату спостережень від середнього арифметичного:

AXi — di — Xi x

Якщо відхилення di надто малі, то результати вимірювань близькі одне до одного і, ймовірно, дуже точні. Якщо деякі з відхилень великі, то на точні результати вимірювань неможливо розраховувати.

В теорії ймовірності доводиться, що вибіркове середньо квадрати­чне відхилення окремих результатів спостережень (ах) виражається через випадкові відхилення dі за формулою Бесселя:

<- х — Sx — /- x)2

\n -1 i—1

Потрібно відмітити, що алгебраїчна сума випадкових відхилень і-го результату спостереження від знайденого

_                                                n

значення x дорівнює нулю ( X d. — 0 ).

i—1 '

Таким чином, можна сформулювати кінцевий результат для зна­чення виміряної величини Xяк: значення X=x + Sx .

Довірчі межі результату вимірювання. Нормальний розподіл випадкових величин (рис.3.2) дає змогу обчислити ймовірність пере­бування випадкової величини X в певних межах. Так, можна вважати: з ймовірністю Р=0,683, що величина X не виходить за межі від ц-а до ц+а (тобто перебуває в межах / + а); з ймовірністю Р=0,954, що ве­личина X перебуває в межах / + 2а; з ймовірністю Р=0,997, що ве­личина X перебуває в межах /и + 3а .

В теорії ймовірності розроблено методи побудови довірчих (на­дійних) меж, в яких за даної ймовірності перебуває істинне значення величини, що вимірюють, для випадку, коли число спостережень до­сить невелике та коли похибки підпорядковуються нормальному розподілу або близькому до нього. Довірчі межі визначаються за нерівністю:

x - t,S < X- < x + ts-,

s                                   x         sx

де ts - коефіцієнт Ст'юдента (цей коефіцієнт запропонований у 1908 р. англійським математиком Уїльямом Госсетом); s - - середньоквадратичне

x

відхилення значення x (математичного очікування ц).

При нормальному розподілі похибок можна вважати, що відхи-

  • ~                         sx

лення x від ц не перевищує S- — —;= .

x Vn

Алгоритм обробки результатів багаторазових вимірювань. Вза­галі, алгоритм обробки багаторазових прямих рівно точних вимірю­вань передбачає здійснення розрахунків відповідно до розглянутих положень та методів в наступній послідовності:

♦ відкинути або якомога зменшити відомі систематичні похибки;

♦  перевірити, чи відповідає вибірка (ряд вимірювань експеримен­ту) нормальному закону розподілу; при наявності грубих похибок у результатах вимірювання потрібно виявити їх за критеріями Q або Ро- мановського і відкинути з подальших обчислень;

♦ якщо усі результати вимірювань Хі мають однакову систематич­ну похибку АХ, спочатку обчислюють середньо квадратичне невиправ- лених результатів вимірювань:

1 "

x=-E ~

n і=1 ,

де Х - середнє арифметичне не виправлених результатів вимірювання; виправлений результат середнього арифметичного знаходять за формулою

Х = Х — Ax .

♦  обчислити середньоквадратичне відхилення результату вимірю­вань Sx ;

♦  визначити оцінку середньо квадратичного відхилення середньо арифметичного значення S- ;