2.1. Прості відсотки та інфляція

магниевый скраб beletage

Інфляційні процеси, які характерні для економіки багатьох кра-їн, потребують необхідності враховувати інфляцію у фінансово-інвестиційних розрахунках. Особливо необхідно враховувати впливінфляції при обчисленні майбутньої вартості кредиту (депозиту) івизначенні реальної ставки відсотків.

Взаємозв'язок інфляції та відсоткових ставок має надзвичайнезначення на ринку капіталів, де кредитори (позикодавці) та пози-чальники укладають угоди, в яких зазначаються фіксовані суми пла-тежів у гривнях. Реальна відсоткова ставка залежить від рівня інфля-ції впродовж усього строку кредиту (депозиту). Укладаючи угоду,кредитор і позичальник виходять зі своїх власних сподівань стосовнорівня інфляції. Ці сподівання можуть бути близькими до фактичнихекономічних реалій, але можуть виявитися і помилковими. І тодіодна зі сторін втрачає, інша — виграє.

Коригування доходів (витрат) для урахуванням інфляції здій-снюється за допомогою рівняння Фішера. Розглянемо ці питання.

Основні поняття фінансових методів розрахунку такі [78, 85, 88,90, 93, 119, 120]:

відсоток (англ. interest) — дохід кредитора (інвестора) віднадання грошей у борг позичальнику (інвестування грошей).Відсоток є однією з форм більш загального поняття економіч-ного ефекту. Економічний ефект — це різниця між результатомі витратами;

відсоткова ставка (англ. interest rate) — величина, яка характе-ризує інтенсивність нарахування відсотків, вимірюється у від-сотках або у вигляді десяткового дробу.

Порівняно із загальними економічними поняттями «відсотковаставка» відповідає поняттю економічної ефективності — відно-шенню ефекту до понесених витрат;

нарощування (англ. advance) — збільшення початкової суми узв'язку з приєднанням до неї нарахованих відсотків;

дисконтування (англ. discounting) — приведення вартісної ве-личини, яка відноситься до майбутнього, до деякого поперед-нього моменту часу (операція, обернена нарощуванню).

Існують різні способи нарахування відсотків від надання коштів уборг. Відповідно використовують різні види відсоткових ставок.

Відсотки відрізняються за базою їх нарахування. Використову-ється постійна база та база для розрахунку, яка послідовно змінюєть-ся. В останньому випадку за базу приймається сума, що отримана напопередньому етапі нарощування або дисконтування.

При постійній базі використовують прості відсотки, при змін-ній — складні відсотки.

(2.1)

Простий відсоток розраховується за формулою

  • J = P n j,

де J — простий відсоток;

(2.2)

t ;K'

P — початковий кредит (депозит);n — строк кредиту (депозиту) в роках;j — проста ставка відсотка (десятковий дріб).Загальна сума виплат із урахуванням нарахованих відсотків S(нарощена сума):

  • 5 = P + J = P + P n j = P ( + n j),

де n =

t — кількість днів позики (депозиту);

K - кількість днів у році.

Нарощення за простими відсотками використовують при наданнікороткострокових позик (до одного року) чи у випадках, коли від-сотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуютьсякредитору.

Залежно від способу визначення тривалості фінансової операціїрозраховують точний відсоток ( K = 365,366 днів) або звичайний(комерційний) відсоток ( K = 360 ) з приблизною кількістю днів умісяці (вважають протяжність повного місяця 30 днів або з точнимчислом днів: (t дорівнює точній кількості календарних днів). Дляпідрахунку точної кількості днів позики (депозиту) використовуютьспеціальні таблиці, в яких приведені порядкові номери кожного дняроку. Схема нарахування точних відсотків із точною кількістю днівпозики застосовується у банках Великобританії, США, Португалії.Схема нарахування звичайних відсотків із точною кількістю днів по-зики дає дещо більший результат і використовується у банках Фран-ції, Бельгії, Іспанії, Швейцарії, Югославії. Схема нарахування зви-чайних відсотків із наближеною кількістю днів позики — найменшточна та застосовується в банках Німеччини.

Розглянемо, як впливає інфляція на кредитну (депозитну)операцію для випадку простих відсотків і строку кредиту (депо-зиту) один рік.

Загальна сума виплат S за кредитом (депозитом) P за рік (з(2.2) при n = 1) становить:

  • S = P + J = P + P j = P (і + j),         (2.3)

де j — проста відсоткова ставка. Тобто первісна сума P при заданійпростій відсотковій ставці j за рік перетвориться на суму S . Відсот-кова ставка j виражається в поточних грошових одиницях, тобто невраховує зростання цін (інфляції).

Реальна загальна сума виплат S' за кредитом (депозитом) P зарік становить:

  • S ' = P + J = P + P r = P-(1 + r),      (2.4)

де r — проста реальна відсоткова ставка.

Реальна відсоткова ставка ( r ) визначається порівнянням товар-них еквівалентів один з одним, тобто враховує зростання цін (інфля-цію).

Реальна сума виплат означає, що ту кількість товарів, яку на мо-мент виплати можна купити на суму S , рік тому можна було купитина суму S', тобто

S

S ' = S, (2.5)

I

де I — індекс інфляції, який показує, у скільки разів збільшення ціни.

У випадку, який розглядається, I = 1 + а , де а — річний прирістцін (темп інфляції); а , виражене у відсотках, назвемо рівнем інфля-ції.

Приклад 2.1. Кожний місяць ціни зростають на 6%.

Визначте річний рівень інфляції.

Розв'язання. Темп інфляції за місяць дорівнює аміс = 0,06, індекс інфля-ції за місяць дорівнює Іміс = 1 + аміс = 1 + 0,06 = 1,06. Індекс інфляції за рікдоршнює Ірк = І м; = 1,0612 = 2,012196 = 1 + арк . Звідки а^ = 1,012196.Отже, річний рівень інфляції досягає 101,2196%.

Приклад 2.2. Як зміниться величина реального доходу, якщо номіналь-ний дохід збільшиться на 12%, а рівень інфляції становитиме 9%?Розв'язання. Зміна реального доходу становитиме:

S 112

S'- S = -- S = —-100 = 2,75%.I 109

Отже, реальний дохід збільшиться на 2,75%.

Поряд з індексом інфляції розраховують індекс купівельної спро-можності грошей. Індекс купівельної спроможності грошей (Itw ) до-

1

рівнює оберненій величині індексу цін: IKC = —. Звичайно, вказані

індекси повинні відноситися до однакових часових інтервалів. На-приклад, сьогодні отримали 100 грн, а за два роки ціни збільшились у

1

два рази, то I = 2, а IKC = —. Отже, реальна купівельна спроможність

2 1

100 грн на момент отримання становитиме 100 •—= 50 грн у грошах

дворічної давності.    2

Установимо зв'язок між ставками r та j . Для цього з (2.3) знай-демо

t[3] + j) = P .      (2.6)

З (2.5) випливає, що S = S' • I або S = S' • (1 + а), яке підставимо у(2.6). Отримаємо

(1 + j) = P-(1 + а).       (2.7)

S

З (2.4) знаходимо, що — = 1 + r. Підставивши у (2.7), отримаємо

  • Формула (2.8) має назву формули Фішера, в якій сума ( а + r а ) —величина, яку необхідно додати до реальної ставки доходності длякомпенсації інфляційних втрат. Ця величина називається інфляцій-ною премією.
  • Знаючи формулу Фішера, можна уникнути поширеної помилки.Часто для підрахунку відсоткової ставки, яка враховує інфляцію, довеличини реальної ставки доходності просто додають величину темпуінфляції. Наприклад, якщо реальна ставка доходності r = 15%, рівеньінфляції 8%, то за відсоткову ставку, яка враховує інфляцію, при-ймається величина r +а = 15% + 8% = 23% . Однак нехтувати добут-ком r а можна тільки у випадку невеликих значень r і а , при якихвін становить незначну величину, як у країнах з розвинутою ринковоюекономікою, де ставки доходності і темпи інфляції невеликі.

Реальна проста відсоткова ставка при вкладі (кредиті) один рік,як випливає з (2.8), знаходиться за формулою

r=1+а   (2.9)

1 +а

Приклад 2.3. Банк пропонує 15% річних за вкладами. Очікується, щоціни за рік зростуть на 8%.

Яка необхідна проста відсоткова ставка, щоб не втратити від інфляції?Чому дорівнює реальна проста відсоткова ставка?

Розв'язання. Щоб отримати 15% реальних (з урахуванням інфляції), не-обхідна проста відсоткова ставка (за формулою (2.8)):

  • j = r + а + r а = 0,15 + 0,08 + 0,15 0,08 = 0,242, або 24,2%.

З формули (2.9) знаходимо реальну просту відсоткову ставку

r = = 0,15 ~0,08 = 0,0648 , або 6,48%.

1 + а 1 + 0,08

Отже, насправді проста відсоткова ставка за вкладом, якщо врахуватиінфляцію, становить 6,48%.

Приклад 2.4. Позичальник одержав від кредитора 30 000 грн на один рікпід 16% річних за простою відсотковою ставкою. Індекс інфляції в Україні заданими Держкомстату за підсумками 2007 р. становив 116,6%.

Визначте майбутню та реальну суму боргу, втрати кредитора, спричи-нені інфляцією. Яку ставку простих відсотків варто використовувати, щобреальна прибутковість кредитної операції була 16% річних? Чому дорівнюєреальна відсоткова ставка?

Розв'язання. Майбутня вартість боргу з (2.3):

S = P • (1 + j) = 30 000-(1 + 0,16) = 34 800 грн.

Реальна сума боргу з (2.5) при I = 1,166 :

S 34 800S = — =        = 29 845,63 грн.

I 1,166

Втрати кредитора:

S - S' = 34 800 - 29 845,63 = 4954,37 грн.

Щоб реальна прибутковість кредитної операцій становила 16% річних,варто використовувати ставку відсотків (2.8):

j = r + а + r • а = 0,16 + 0,166 + 0,16 • 0,166 = 0,3526, або 35,26%.

Реальна відсоткова ставка з (2.9) при а = 16,6% :

j-а 0,06 - 0,166 „ „„г. , псла/

r = -     = —     -           = -0,0051, або -0,51%.

1 + а 1 + 0,166

Отже, ця кредитна операція приносить збиток 0,51%.

Динаміка індексу інфляції за кілька місяців (років) відображаєзміни, які відбуваються в інфляційних процесах. Зрозуміло, що збіль-шення індексу інфляції за певний період порівняно з таким самимпопереднім періодом вказує на прискорення інфляції, а зменшення —на зниження її темпів.

Виведемо формули для визначення індексу інфляції.

1. У загальному випадку, якщо відомий річний рівень інфляціїа , то за період n років п = па + пь, де па — ціле число років, пь —дробова частина року, що залишилася, то індекс інфляції, який пока-зує, у скільки разів зросли ціни, знаходиться за формулою (за умовизбереження середньорічного темпу зростання інфляції а )

I = (1 + а)п.     (2.10)

Якщо розкласти праву частину виразу (2.10) за біномом Ньюто-на, то отримаємо:

I = (1 + а)n = (1 + а)n .(1 + а)n =

= (1 + а)п

n!

  • . n. (n. -1) 2 n.!1 + nb -а + b v b                   а1 +... + -.-
  • Або I = (1 + а)n (1 + ща) + о(а), де

а

величина, порядку малості менша, ніж а .

Отже, формула для розрахунку індексу інфляції має вигляд:

  • I = (1 + а)"' (1 + nb а).       (2.11)

Зауважимо, що з формули (2.10) при n = 1 маємо I = 1 + а , як уформулі (2.5) для випадку кредиту (депозиту) під просту відсотковуставку на строк один рік.

Якщо ат — темп інфляції за деякий інтервал часу, то за період,який становить m таких інтервалів, індекс інфляції дорівнює:

I = (1 +«m)т .   (2.12)

(2.13)

Якщо темп інфляції за деякий інтервал часу аі Ф ак при i Ф k ,для i, k = 1, 2, ..., т , то індекс інфляції за m таких інтервалів дорів-нює:

0 при а ^ 0 . о(а)

I = П(1 +аі).

г=1

Приклад 2.5. За даними Держкомстату України, індекс споживчих цін(індекс інфляції) до попереднього місяця в січні 2007 р. становив 100,5%, улютому — 100,6, у березні — 100,2%.

Визначте індекс споживчих цін за березень 2007 р. до грудня 2006 р.Розв'язання. За формулою (2.13) індекс споживчих цін за березень2007 р. до грудня 2006 р. дорівнює:

І = 1,005 •1,006 1,002 = 1,013052, або 101,3%.

о(а)

Отже, за перші три місяці 2007 р. ціни зросли на 1,3%.

Приклад 2.6. Темп інфляції в Україні, за даними Держкомстату, у верес-ні 2007 р. становив 2,2%, у жовтні індекс споживчих цін дорівнював 1,029, улистопаді по відношенню до жовтня ціни знизилися на 0,7%. Визначте, наскільки відсотків зросли ціни за ці три місяці. Чому дорівнює середньомісяч-ний рівень цін?

Розв'язання. За формулою (2.13) індекс споживчих цін за ці три місяцідорівнює:

I = 1,022 • 1,029 • 1,022 = 1,074774.

Отже, за ці три місяці ціни зросли в 1,074774 разу, або на 7,4774%.

Середньомісячний темп інфляції за ці три місяці знаходиться як середнєгеометричне з місячних індексів споживчих цін:

Icepei. = 31074774 = 1,024328 або 102,4328%.

Отже, ціни в середньому за ці три місяці збільшувалися щомісяця на2,4328%.

Розглянемо, як впливає інфляція на кредитну (депозитну)операцію для випадку простих відсотків і строку кредиту (депо-зиту) менше року.

Загальна сума виплат з урахуванням нарахованих відсотків зна-ходиться з (2.2). Реальна сума виплат S' за кредитом (депозитом) Pв такому випадку становитиме:

S' = P •( + n • r).          (2.14)

Індекс інфляції, як випливає з формули (2.11), в такому випадкудорівнюватиме:

I = 1 + n •а,     (2.15)

оскільки при n < 1, na = 0, а nb = n.

Здійснивши алгебричні перетворення,       аналогічні (2.6)-(2.7),знаходимо, що

j = r + а + n • r •а.        (2.16)

З формули (2.16) можна знайти реальну просту відсоткову став-ку, якщо строк вкладу (кредиту) менший ніж один рік (n < 1):

r = j-а .            (2.17)

1 + n •а

Приклад 2.7. Банк видав клієнтові кредит у сумі 30 000 грн на два місяці.Банк бажає забезпечити реальну ставку доходності 13,7% річних. За данимиДержкомстату, інфляція в Україні в лютому 2008 р. становила 2,7, у січні —2,9%.

Визначте просту відсоткову ставку банку з урахуванням інфляції. Якусуму повинен повернути боржник, якщо кредитний договір передбачає вра-хування інфляції?

Розв'язання. Індекс інфляції за перші два місяці 2008 р., як випливає з(2.13), становив

  • I = 1,029 1,027 = 1,056783.З другого боку, з (2.15) індекс інфляції за перші два місяці 2008 р.

2

  • I = 1 + n а = 1 + — а = 1,056783.12
  • Звідки а = 0,056783 6.

Щоб отримати 13,7% річних реальних, банку необхідна проста відсотко-ва ставка, яку знаходимо з (2.16)

  • j = r + а + n r а = 0,137 + 0,056783 6 + — 0,137 0,056783 6 = 0,485477 ,

12

або 48,5477%.Розв'язати задачу можна інакше.

  • З (2.5) знайдемо S = S' I; підставимо S' з (2.14), отримаємо
  • S = S' I = P (1 + n r) I.   (2.18)

Прирівнявши праві частини співвідношень (2.2) і (2.18), отримаємо рів-няння еквівалентності

  • 1 + n j = (1 + n r) I,        (2.19)

з якого знаходимо просту відсоткову ставку з урахуванням інфляції:

  • . (1 + n r) I -1

j =~                              .

n

У прикладі

  • |1 + — 0,137 ] 1,056783-1
  • j = (1 + n r) I -1 = ^—12     J           = 0,485477, або 48,5477%.

n          2

12

Боржник повинен повернути з урахуванням інфляції:

S = P •( + n • j) = 30 000 •( 1 + — • 0,485477 ] = 32 427,38 грн.