2. Таблиці смертності та мета їх використанняу страхуванні життя

магниевый скраб beletage

Суттєва особливість страхування життя від загальногострахування полягає в тому, що актуарна математика страхуванняжиття передбачає використання селективних та регіональних таб-лиць смертності, статистичні дані яких є основою для визначенняймовірності дожиття та смерті. Ці показники необхідні для розра-хунку страхових тарифів.

Цікаво. Основи теорії актуарних розрахунків було закладено вXVII cm. в роботах опублікував Д. Граунта, Яна де Вітта, Е. Гал-лея. У 1662 році Д. Граунт публікує роботу «Природні та полі-тичні спостереження над бюлетенем смертності». Він упершеопрацював дані про смертність людей та побудував таблицісмертності. Подальший розвиток теорія актуарних розрахунківотримала в роботах англійського астронома та математика Е.Галлея, який сформулював визначення основних таблиць смерт-ності. Форма таблиці смертності, яка була запропонована Гал-леєм, використовується по сьогоднішній день.

Важливо. Таблиця смертності — упорядкований ряд взає-мопов'язаних величин, що характеризують зменшення з віком де-якої сукупності народжених унаслідок смертності. Вона є систе-мою показників, які вимірюють частоту смертності в різніперіоди життя та частоту дожиття до кожного наступного віку(табл. 3.1).

Показники таблиці смертності побудовані як опис процесу до-життя та вимирання деякого покоління з фіксованою початковоючисельністю народжених.

Таблиця 3.1

ТАБЛИЦЯ СМЕРТНОСТІ (ГІПОТЕТИЧНІ ДАНІ)

X

Lx

dx

qx

Px

0

100 000

1782

0,00178

0,99822

1

96 218

1850

0,00192

0,99808

 

 

 

 

 

18

94 368

1210

0,00128

0,99872

 

 

 

 

 

20

93 158

912

0,00978

0,99022

 

 

 

 

 

40

92 246

374

0,00408

0,99592

41

91 872

399

0,00434

0,99566

42

91 473

427

0.00467

0,99533

43

91 046

458

0,00503

0,99497

44

90 588

492

0.00543

0,99457

45

90 096

528

0,00586

0,99414

 

 

 

 

 

50

87 064

735

0,00844

0,99156

 

 

 

 

 

60

77 018

1340

0,01740

0,9826

 

 

 

 

 

85

18 900

2616

0,13840

0,8616

Підмет таблиці смертності складають:

X — однорічні вікові групи населення;

Lx—число осіб, що доживає до кожного наступного віку;

dx — число осіб, що помирає у віці х;

дх — ймовірність смерті при переході від віку х до віку х + 1;

px — ймовірність дожиття віку X + 1.

Математично ймовірності дожиття і смерті розраховуються утакий спосіб:

4x = dx: Lx,      (3.1)

Px = Lx + 1 : Lx.          (3.2)

Імовірність смерті можна також розрахувати шляхом відніман-ня від одиниці ймовірності дожиття.

Проаналізуємо дані таблиці смертності. Припустимо, що в де-якому році з'явилося 100 000 новонароджених. За таблицею смерт-ності можна визначити, скільки з них доживе до певного віку, а та-кож помре кожного року. Важливими інформативним показникамитаблиці є ймовірність смерті (qх) та ймовірність дожиття відповід-но (рх).

Використовуючи показники смертності, страхова компанія з ви-соким ступенем імовірності може припустити, що вподовж най-ближчого року з 1000 застрахованих у віці 40 років може померти4 чоловіки, 50 років — 8 чоловік, 60 років — 17 чоловік. Звичайно,в окремих років ці цифри можуть бути дещо іншими, але ризиквідхилення незначний. Таким чином, страховій компанії стає відо-мою кількість виплат при страхуванні на випадок смерті. Показни-ки смертності мають варіативний характер для міської та сільськоїмісцевості, для окремих регіонів і особливо для чоловіків та жінок.Усі ці моменти враховуються в детальніших таблицях смертностіта знаходять своє відображення при побудові тарифних ставок.

В аналогічному порядку за даними таблиці смертності можнавизначити на 1000 застрахованих кількість осіб, які доживуть докожного наступного віку. Ця величина буде кількістю виплат у разістрахування на випадок дожиття.

Таким чином, таблиці смертності дають можливість страховійкомпанії визначити кількість виплат як за випадками смерті, так іза випадками дожиття застрахованих до певного віку.

Особливою рисою договорів страхування життя є їх довгостро-ковість. Страхувальники сплачують або всю суму страхової преміївідразу при укладенні договорів, або (що буває значно рідше)упродовж усього терміну страхування. Таким чином, утворюєтьсязначний проміжок часу від моменту надходження страхових пла-тежів до моменту виконання зобов'язань. Страхова компанія отри-мує в своє розпорядження значні суми тимчасово вільних коштівстрахових резервів, які, згідно з чинним законодавством, можутьвикористовуватись страховиками у фінансовій та інвестиційній ді-яльності та забезпечувати додатковий дохід. Тому при визначеннінетто-ставки страхова компанія повинна врахувати цей дохід. Чимвищою є норма доходності, тим меншою є нетто-стаека.

Важливо. Норма доходності — процент, що нараховуєтьсястраховиком до резерву внесків на страхування життя. У стат-ті 2 Закону № 2745 зазначено, що в договорі страхування життявеличина інвестиційного доходу не повинна перевищувати 4 % рі-чних.

Договором страхування життя обов'язково передбачаєтьсязбільшення розміру страхової суми та (або) розміру страховихвиплат на суми (бонуси), що визначаються страховиком один разна рік за результатами отриманого інвестиційного доходу відрозміщення коштів-резервів зі страхування життя за вирахуван-ням витрат страховика на ведення справи у розмірі до 15 % інве-стиційного доходу та обов'язкового відрахування в математичнірезерви частки інвестиційного доходу, що відповідає розміру ін-вестиційного доходу, який застосовується для розрахунку стра-хового тарифу за цим договором страхування та в разі індексаціїрозміру страхової суми та (або) розміру страхових виплат заофіційним індексом інфляції, відрахування в математичні резервичастки інвестиційного доходу, що відповідає такій індексації.

Договором страхування життя також може бути передбаче-но збільшення розміру страхової суми та (або) розміру страховихвиплат на суми (бонуси), які визначаються страховиком один разна рік за іншими фінансовими результатами його діяльності(участь у прибутках страховиків) [4].

У табл. 3.2 наведено величини прирощення вкладень (однієїгривні) у кінці кожного року за норми дохідності 4 % річних, щорозраховані за формулою складних відсотків:

MB = ПВх (1 + ї)\       (3.3)

де MB — майбутня вартість вкладень;

ПВ — поточна вартість вкладень;

i — норма дохідності;

т — період нарахування відсотків.

Дані табл. 3.2 свідчать про залежність темпів збільшення вкла-деної суми від величини норми дохідності. По закінченню третьогороку вкладена сума збільшиться на 12 %, п'ятого року — на 21 %,десятого року — на 48 %. За такою схемою нараховують банкисвоїм клієнтам відсотки на відкриті вклади, тобто шляхом приєд-нання до суми вкладу суми нарахованих відсотків. Страхові компа-нії враховують отриманий страхувальником дохід при укладеннідоговору страхування життя шляхом попереднього зменшеннясвоїх фінансових зобов'язань. Тому перед страховими компаніямипостає завдання обчислення суми, яка повинна бути внесена на по-точний момент для того, щоб через визначений договором термінмати потрібну страхову суму. Визначення невідомої величини здій-снюється за допомогою дисконтування, що дає змогу обчислитипоточну вартість майбутньої виплати в 1 гри. Дисконтування єпроцесом зворотним до нарахування складних відсотків:

ПВ = MB : (1 + 0Т,     (3.4)

де ПВ — поточна вартість майбутніх виплат;MB — майбутні виплати;і — норма дохідності;т — рік приведення.

Таблиця 3.2

ПРИРОЩЕННЯ ВКЛАДЕНЬ ПРИ 4 % НОРМИ ДОХІДНОСТІ

Кількість років

Норма дохідності 4 % на рік

1

1,04

3

1,12

5

1,21

10

1,48

У табл. 3.3 наведено дисконтні множники, величина яких вра-ховує 4-х норму дохідності в 4 %.

Таблиця 3.3

ДИСКОНТНІ множники

Кількість років страхування

Значення множника при 4 % норми дохідності

1

0,96

3

0,89

5

0,83

10

0,68

Для обчислення суми, яку необхідно внести сьогодні, розрахо-вуючи на отримання через відому кількість років при запланованійдохідності бажаної страхової суми, треба цю суму помножити надисконт. У результаті буде отримана поточна величина майбутньоївиплати. Так, для того, щоб через 10 років отримати 10 000 грн принормі дохідності 4 %, необхідно внести зараз 6800 грн (10 000 х0,68).

Таким чином, нетто-стаека зі страхування життя обчис-люється на підставі поточної вартості майбутньої виплати.

Наприклад. Фізична особа у віці 40 років укладає договірстрахування на дожиття терміном на 5 років і страховою сумою1000 грн. На підставі таблиці смертності (табл. 3.1) визначаємо, щодо віку 40 років дожило 92 246 чол. Припустимо, що всі вони бу-дуть застраховані і до віку 45 років доживе 90 096 чоловік. Кіль-кість страхових виплат буде дорівнювати кількості осіб, які дожилидо 45 років, а сума виплат:

1000 х 90 096 = 90 096 000 грн.

Дисконтний множник за 5 років за норми дохідності 4 % стано-вить 0,83. Тоді поточна вартість майбутніх виплат складатиме:

90 096 000 х 0,83 = 74 779 680 грн.

Для накопичення цієї суми кожен страховик при укладенні до-говору повинен отримати з кожного клієнта:

74 779 680: 92 246 = 811 грн.

Сума 811 грн і буде одноразовою нетто-ставкою за страхуван-ням на випадок дожиття при відомих величинах:

вік застрахованого:

термін страхування;

норма дохідності;

страхова сума.

Аналогічно можна розрахувати одноразовий тариф-нетто застрахуванням на випадок смерті фізичної особи в період дії дого-вору, але з використанням показника смертності.

Наприклад. Відомо, що з 92 246 застрахованих у віці 40 роківпротягом першого року помре 374 особи (табл. 3.1), що є кількістювиплат на випадок смерті. Сума майбутніх виплат буде становити:374 х 1000 грн = 374 000 грн.

Поточна вартість майбутніх виплат обчислюється за формулою (3.4):374 000 х 0,96 = 359 040 грн.

Далі за таблицею смертності визначаємо, що протягом другогороку помре 399 чоловік, третього — 427, четвертого — 458,п'ятого — 492.

Визначаємо розміри страхових виплат у кожному році і до-дамо їх за 5 років та поділимо на загальну кількість застра-хованих:

((374 х 0,96 + 399 х 0,92 + 427 х 0,89 + 458 х 0,85 + 492 х 0,83):: 92 246) х 1000 = 20,6 грн.

Отримана величина 20,6 грн є одноразовою нетто-ставкою задоговором страхування на випадок смерті.

На практиці договори страхування життя мають змішанийхарактер і поєднують у собі страхування як на випадок смертітак і на випадок дожиття. Тому одноразова нетто-ставка в цьо-му випадку дорівнює сумі розрахованих нетто-ставок за кож-ним ризиком.

Проте одноразовий тариф не завжди є зручним для страхуваль-ника. Більшість з них надають перевагу тривалішому терміну вико-нання своїх зобов'язань по сплаті страхових внесків. Тому в стра-хуванні життя використовуються не одноразові нетто-ставки, анетто-ставки розстроченого характеру (річні, щомісячні, щокварта-льні).

Для розрахунку річної нетто-ставки страхові компанії викорис-товують спеціальні коефіцієнти розстрочки, величина яких зале-жить від норми дохідності, віку страхувальника (застрахованого) татерміну сплати внесків. При цьому сума річних нетто-ставок будебільшою за суму одноразової нетто-ставки, оскільки страхова ком-панія отримує у своє розпорядження меншу суму грошей і, як на-слідок, втрачає частину інвестиційного доходу.

Зазвичай у правилах страхування страхові компанії вказуютьщомісячні внески (з урахуванням навантаження), які визначаютьсяшляхом ділення річних внесків на 12.

На практиці з метою спрощення розрахунків страхових тарифіввикористовуються спеціальні показники — комутаційні числа, яківраховують зв'язок між даними таблиці смертності та дисконтнимимножниками.

3. Програмистрахування життя

У межах ліцензії на страхування життя, як правило,пропонуються змішане страхування життя; страхування дітей; весі-льне страхування; довічне страхування; страхування додатковоїпенсії.