4.1 Стислі відомості з теорії імовірностей : Основи операційного менеджменту. теоритичний аспект та практичні завдання : B-ko.com : Книги для студентів

4.1 Стислі відомості з теорії імовірностей

Надійне функціонування будь-якої операційної системи за-лежить від численних об'єктивних і суб'єктивних чинників, щочасто знаходяться в складній взаємозалежності. Це призводитьдо того, що поява відмов або збоїв у функціонуванні операційноїсистеми носить вірогідний характер. Останнє дає підставу дляоцінювання надійності такого роду систем за широкого ужиткуматематичних методів. Більшість з них, використовуючи уза-гальнення накопиченої статистичної інформації про функціону-вання конкретної операційної системи за реальних ринкових умов,дають змогу виявляти імовірні закономірності та співвідношен-ня між випадковими чинниками, що різноступенево впливаютьна показники надійності. З метою виявлення цих закономірнос-тей широко застосовують теорію імовірностей — математичнунауку про закономірності масових явищ, яка пропонує операцій-ним менеджерам шляхи зменшення невизначеності, оскільки їмдуже часто доводиться приймати важливі рішення. Вивчення тео-рії імовірностей, заснованої на оцінюванні невизначеностей, за-безпечує надійний інструмент для виміру і контролю різних їхніхформ для осіб, якими приймаються рішення.

4.1.1 Основні поняття теорії імовірностей

У теорії імовірностей застосовують ряд базових понять —досвід, експеримент, результат, подія, випадкова величина,імовірність, частота. Розглянемо їх у такій інтерпретації.

Досвід — це практичне здійснення ряду умов, правил.

Експеримент — один або декілька дослідів.

Результат — можливий підсумок експерименту.

Усі явища в економіці за ознаками кількісного оцінюванняїхнього прояву розподіляють на одиничні і масові.

Одиничним вважається явище, що повторюється за бага-торазового відтворення досліду.

Подія — це явище, що відбувається в результаті накопи-чення досліду. Події відрізняються між собою за ступенем мож-ливості появи і характером взаємозв'язку. Події прийнято позна-чати великими літерами латиниці — А, В,      

Достовірною називають подію, що за всіх дослідів завждинастає, якщо буде здійснена визначена сукупність умов.

Неможливою називають подію, що за всіх дослідів ніколине настає.

Випадковою називають подію, що за здійснення сукупностіумов може або відбутися, або ні. Наприклад, відмова або збої вопераційній системі за весь період життєвого циклу.

Спільні — це дві події, одна з яких не виключає можливостіпояви іншої. Наприклад, зростання курсу долара (подія А) завизначений час не виключає підйому цін на товари, вироблені заопераційною системою (подія В).

Неспільними називають дві події, якщо в процесі функціо-нування операційної системи поява однієї з них виключає мож-ливість появи іншої. Наприклад, відмова і працездатність опера-ційної системи не можуть виникати одночасно.

Рівноможливі — це кілька можливих подій, що з'являють-ся в процесі досліду. Причому немає підстави припускати, щопоява однієї імовірніша за появу решти.

Незалежними вважають такі події, поява яких не залежитьвід того, яка подія відбулася перед цим.

Якщо події, що входять у групу, попарно несумісні, то їх на-зивають «групою неспільних подій». Однак, якщо сумісні хоча бдві події з цієї групи, то вони є групою спільних подій.

На практиці часто цікавляться настанням двох неспільних подій,що утворюють повну групу. Такі події називаються протилежними.

Подію, протилежну події А, прийнято позначати як A. Наприклад,працездатність операційної системи—А, а її відмова — A.

У випадку, якщо подія є якісною характеристикою резуль-тату процесу функціонування операційної системи, то кількіснухарактеристику його представляє випадкова величина. Випад-ковою називають величину, що у результаті іспиту може прийня-ти те чи інше (але тільки одне) значення, причому заздалегідьневідомо, яке саме.

Випадкові величини звичайно позначають великими літера-ми латиниці, наприклад, Х, Y, ..., а їхні можливі значення — відпо-відними малими літерами х, у,            

Випадкові величини, що зустрічаються в економічній прак-тиці, поділяють на дві групи — дискретні і неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається така,число можливих значень якої звичайне.

Неперервною випадковою величиною називається така,що у деякому інтервалі (кінцевому чи нескінченному) може прий-мати будь-яке значення.

Випадкова величина — абстрактне відтворення випад-кової події.

Імовірність — це числова характеристика ступеня мож-ливості появи будь-якої випадкової події за тих чи інших визна-чених, здатних повторюватися необмежене число разів, умов.

Розрізняють математичну і статистичну імовірність.Математичну імовірність визначають безпосереднім підрахун-ком за формулою

m

P(A) = - ,         (4.1)

n

де Р(А) — імовірність події А;n — загальне число випадків;m — число випадків, що сприяють події А.

З того, що імовірність є відношенням, випливає два важли-вих висновки:

1) числове значення імовірності знаходиться в інтервалі від0до 1,0, включаючи границі даного інтервалу, тобто

0 < Р < 1,0;

2) сума імовірностей усіх можливих підсумків експерименту

(імовірність повної групи подій) дорівнює 1,0, тобтоn

Значення імовірності, що наближається до 1,0, свідчить пробільшу визначеність розглянутої події. Значення імовірності, щозменшується до нуля, сигналізує про збільшення невизначеностіподії. Значення Р = 1,0 відповідає достовірній події, і, навпаки,значення Р = 0 відповідає неможливій події.

Досить малу імовірність, за якої у даних умовах подію можнавважати практично неможливою, називають рівнем значущості.Як правило, його приймають так: а = 0,01; а = 0,05; а = 0,10.

На практиці імовірність часто заміняють частотою появицікавої події за кінцевого числа дослідів. Частота — це число(кількість) однакових або близьких (отриманих у спостережен-нях) подій чи абсолютних значень випадкової величини, об'єдна-них в єдину групу, розряд.

(4.2)

Частота, виражена в частках одиниці або відсотках від за-гальної кількості об'єктів досліджуваної сукупності, називаєть-ся відносною частотою

W = m/n .

Приклад. Відділ технічного контролю знайшов 6 нестандарт-них деталей у партії зі 100 випадково відібраних деталей. Відносначастота появи нестандартних деталей складе W = 6/100 = 0,06,або 6% від загальної кількості проконтрольованих деталей.

За необмеженого збільшення загальної кількості випадків nстатистичне значення частоти W змінюється незначно і дохо-дить до деякого числа Р — імовірності даної події

m

P = lim W = lim —

n^w n^w n

або

m

P(A)(4.3)n

Обчислена у такий спосіб імовірність називається статис-тичною, бо її одержано в результаті іспитів (дослідів, спосте-режень).

Приклад. Банк обслуговує n = 1152 клієнти пенсійного віку(60-85 років). Яка імовірність того, що половина з них є клієнта-ми у віці від 75 до 85 років? При цьому відомо, що m = 473. Ви-користовуючи формулу (4.3), визначимо розрахункову імовірність

473

P( A) =            = 0,41.

1152

Наближена рівність Р ~ m/n визначає імовірність Р певноїподії за емпіричною частотою, і, навпаки, за відомої імовірностіможна визначити очікувану частоту цієї події із n дослідів (спос-тережень), коли вони ще не проведені.

Імовірності складних подій визначаються за двома прави-лами — додавання імовірностей і множення імовірностей.

4.1.2 Правило додавання імовірностей

Для простоти розглянемо лише дві події — А та В. Правилододавання імовірностей застосовується для підрахунку імовір-ності здійснення події А або В чи обох відразу. Саме ж правилоформулюється так:

імовірність появи однієї з двох неспільних подій, байдужеякої, дорівнює сумі імовірностей цих подій

Р(А+В) = Р(А) + Р(В);            (4.4)

імовірність появи однієї з декількох попарно неспільних подій,байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій

Р(А1 + А2 + ... + А„) =

n          (4.5)

= Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(АИ) = ^P(A).

i=1

У загальному випадку для повної групи подій А1, А2, ..., Апматимемо

Y.PA)=1,0.      (4.6)

i=1

Приклад. Підприємство для виробництва продукції уклалоугоду на постачання сировини з трьома постачальниками А, Вта С. На перший квартал наступного року існує імовірність одер-жання вантажу з необхідною сировиною від постачальника А нарівні Р(А) = 0,65, а також від постачальника В обсягом Р(В) = 0,24.Яка буде імовірність того, що черговий вантаж буде отриманийвід постачальника С?

Події «вантаж отриманий від постачальника А», «вантажотриманий від постачальника С» утворять повну групу, тому сумаімовірностей цих подій дорівнює одиниці

Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1,0,

або

0,65 + 0,24 + Р(С) = 1,0.Звідси обчислювана імовірність буде дорівнюватиР(С) = 1,0 - (0,65 + 0,24) = 0,11.

На практиці у разі проведення оцінок надійності операцій-них систем найчастіше розглядають дві неспільні протилежніподії: стан працездатності системи і стан її відмови за конкретнозаданих умов. Природньо, що вони події несумісні. У даномувипадку ці події утворять повну групу, для якої сума їхніх імовір-ностей також дорівнює 1,0:

Р(А) + Р( А) = 1,0       (4.7)

або

Р + q =1,0,      (4.8)

де Р — імовірність того, що операційна система буде праце-здатною;

q — імовірність того, що буде відмова, тобто система буденепрацездатною.

Оскільки ці події протилежні (поява однієї з них вірогідна, аспільна поява обох в одному досліді неможлива), то

q = 1,0 — Р.    (4.9)

Приклад. Імовірність того, що ринок для продажу фірмоювироблених електротоварів буде сприятливим у k-му регіоні,складає, за прогнозними даними, Р = 0,6. Знайти імовірність того,що ринок у k-му регіоні буде несприятливим для продажу елект-ротоварів.

Події «ринок сприятливий» і «ринок несприятливий» — про-тилежні, тому обчислювана імовірність буде дорівнювати

q = 1,0 - Р = 1,0 - 0,6 = 0,4.

4.1.3 Правило множення імовірностей

Його застосовують тоді, коли потрібно знайти імовірністьтого, що події А та В відбудуться одночасно. Формулюється пра-вило в такий спосіб.

Якщо дві події—А та В — незалежні, то імовірність спільноїпояви двох незалежних подій дорівнює добуткові імовірностейцих подій

  • Р(АВ) = Р(А) Р(В).  (4.10)

Коли Р(А) = Р(В), то Р(АВ) = Р(А)2.Якщо маємо більше двох подій, то

Р(Аі, А2, ..., Ап) =

п          (411)

  • = Р(Аі) Р(А2), ..., Р(Ап) = П),

i=1

або якщо

Р(Аі) = Р(А2) = ... = Р(Ап),

то        П Р(А> ) = Р(А)п•      (412)

i=1

Операційна система (або об'єкт) ніколи не може бути на-дійнішою за самий ненадійний свій елемент. Розглянемо це наелементарному прикладі.

Приклад. Якщо обчислювальна операційна система скла-дається з двох елементів — оператора й обчислювальної маши-ни (комп'ютер), з імовірністю безвідмовної роботи кожногоР1 = 0,95 і Р2 = 0,8, то імовірність безвідмовної роботи даної си-стеми Рс буде дорівнювати:

  • Рс = Рі • Р2 = 0,95 0,8 = 0,76.

Як бачимо, Рс < Р2 на 5%.Для незалежних подій

  • Р(А В) = Рв(А) Р(В),           (4.13)

де Р(АВ) — імовірність одночасної появи подій А та В;204

Рв(А) — імовірність появи події А за умови, що відбуласяподія В (умовна імовірність).

В разі розгляду складних подій, особливо за умов неперед-бачуваності змін зовнішнього середовища (ринку, конкурентів,державної політики тощо), для розгляду всіх можливих підсумківпрактично використовувати «дерево імовірностей». У даному ви-падку воно являє собою граф, де спостереження (досліди) пред-ставлені вершинами (кружечки), а кожний результат — ребромграфа (проста лінія). Імовірність відповідного результату вка-зується біля галузі, а можливі підсумки й імовірність усієї склад-ної події — наприкінці кожної галузі.