Навчальне видання : Основи операційного менеджменту. теоритичний аспект та практичні завдання : B-ko.com : Книги для студентів

Навчальне видання

Сумець Олександр Михайлович

ОСНОВИ ОПЕРАЦІЙНОГО

МЕНЕДЖМЕНТУТЕОРЕТИЧНИЙ АСПЕКТІ ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

3-є видання, перероблене та доповнене

Керівник видавничих проектів О. С. ПрокопчукДизайн обкладинки С. О. КіцноВерстка Н. Л. МоскаленкоТехнічне редагування С. М. Прокопчук

Формат 60x84/16. Підписано до друку 17.03.2006.Друк офсетний. Папір офсетний. Гарнітура Таймс.Наклад 800 прим.

ТОВ «Видавничий дім «Професіонал»Тел./факс (8-044) 451-45-66 (багатоканальний)e-mail: vdbook@profi-book.kiev.ua,ruslan@profi-book.kiev.uawww.profi-book.kiev.ua

Свідоцтво про внесення суб 'єкта видавничої справидо Державного реєстру видавців, виготівників ірозповсюджувачів видавничої продукціїсерія ДК № 1533

відтинається нею на вертикальній осі) і її нахилом (лінійним ку-том). За умови можливості розрахунку у-значення і нахилу лініятренда і буде описуватися прямою функцією:

y = a + bx,

де у — розрахункове значення прогнозованої перемінної;а — відрізок, що відтинається прямою на осі у;b — нахил лінії регресії (коефіцієнт зміни значення у стосов-но зміни значення х);

х - незалежна перемінна.

Одержавши рівняння лінії регресії, можна визначити значенняа і b. Нахил лінії регресії знаходимо за відомою формулою

(3.6)

де n — кількість точок даних спостережень;

випускається, виду «надаваних» послуг тощо. Коректність прий-нятих допущень випливає з їхнього тимчасового характеру, томущо в процесі ітераційної реалізації всієї маси моделей припу-щення замінюються обумовлено-явними обмеженнями.

У процесі топологічної оптимізації вирішуються питання,пов'язані з чинниками:

а)         зовнішнього і внутрішнього середовища функціонування опе-раційної системи (тополого-ресурсні);

б)         організаційно-управлінського плану;

в)         фінансового характеру.

3.2.1.1 Тополого-ресурсні чинники

Однією з основних передумов проблеми розміщення опера-ційної системи є локалізація ресурсів. Дане завдання може бутиописане наступними групами чинників, прийнятих залежно відсуті обмежень, що накладаються на систему.

1. Функціонування операційної системи припускає її оп-тимальне наближення до точок концентрації найважливі-ших ресурсів. В ідеалі система повинна знаходитися в тій точціпростору, де сумарна відстань до ресурсів є мінімальною. У цьо-му випадку проблема може розглядатися як окремий випадоктранспортної проблеми. Граничними умовами оптимальної сис-теми виступають питомі витрати, позв'язані з підготовкою і до-ставкою кожного виду ресурсів. Дане обмеження, по суті, є своє-рідним оптимізаційним вирішенням питання вибору відстані міжточкою дислокації операційної системи і місцем перебуванняресурсів. Тому важливим моментом для операційного менедже-ра є врахування функції, що визначає відстань.

У геометричному розумінні відстань є предметною функ-цією, визначеною для будь-яких двох точок х и у в просторі Rn зтакими трьома властивостями:

а)         L(x, у) = 0, L(x, у) > 0, x Ф у;

б)         L(x, у) = L(x, у);          (3.10)

в)         L(x, у) = L(x, у) + L(x, z).

Як бачимо, третя властивість є узагальненням відомої не-рівності трикутника. Тому прикладом функції, що визначаєвідстань, є

X (X - Уі )2 = V< X - Y,X - Y > , (3.11)

i=1

де < X- Y, X- Y > — середнє від випадкової величини;

X = (xb x2, x3, • .., xn)T;Y = (уьу2,уз, •••,уп)Т.

Тут індекс «Т» позначає транспонування.

Представлена функція (3.11) визначає евклідову відстаньміж двома точками X та Y у просторі Rn.

Аналітична геометрія і математика надають й інші можли-вості для використання функцій L(x, у). Так, в якості інших при-кладів пошуку відстані наведемо такі функції:

L(X,Y) = X(X -Уг)      (3.12)

i =1

L( X, Y) = max | x, - y,.| .         (3.13)

1<i<n

Варто вказати на широке застосування відстані, яка визна-чається функцією

L(X,Y) = <X- Y, M(X- Y) > 2            (3.14)

де М — позитивно визначена симетрична (n + ^-матриця.

В іншому випадку, якщо продукція транспортується уз-довж доріг, що утворюють прямокутну сітку, треба буде вико-ристовувати рівняння (3.12), а точки, що знаходяться на рівнихвідстанях від операційної системи, розташуються, як показа-но на рис. 3.36.

Аналогічно розглядаються приклади визначення відстаней

і для випадків, представлених на рис. 3.3 в, г.

2. Оскільки операційна система певним чином організовуєсвої функції в часі, то у процесі вирішення питань оптимізаціївраховується й інший чинник: усі ресурси повинні бути дос-тавлені на вхід операційної системи у визначеному часово-му інтервалі:

t1 < tx < t2.

Початок функціонування операційної системи визна-чається моментом найбільш пізньої доставки ресурсу. Томуодним з методів вирішення завдання розміщення є методмінімального запізнення, тобто вибір такої точки розміщенняопераційної системи, для якої найбільш повільна (проблемна до-ставка ресурсу буде гарантована у заданий інтервал.

Вирішення оптимізаційного завдання, описаного другим об-меженням, можна розглядати на прикладі пошуку точки, що зна-ходиться на найкоротшій відстані від заданих трьох точок —трьох видів ресурсів, один із яких є «проблемним» у плані транс-портування. Узагальнюючи це завдання, розглянемо пошук точ-ки О (точка розташування операційної системи) у просторі Rn,що знаходиться на найкоротшій загальній «відстані» від заданоїбезлічі N точок К1, К.2, ..., К^ простору Rn. Узагальнивши відпо-відним чином поняття відстані, сформулюємо наше завданнярозміщення операційної системи.

Розглянемо відомий дво-мірний випадок задачі з n = 2

і N = 3. За даних умоввідстань за умови t\ < tx< t2,t2 < tx< t3 буде визначатисязвичайною евклідовою дов-жиною. Такого роду пошукзазначеної точки в площині,загальна відстань якої від

трьох точок у тій же площині є мінімальною, був запропонованийще в XVII столітті французьким математиком Ферма італійсь-кому фізикові Торрічеллі при використанні геометричних похідних(рис. 3.4). У той же час цим простим завданням ілюструється іпоняття подвійності рішення, пов'язаного з прямим (тобто ви-хідним) варіантом.

Зв'язок між прямим і двоїстим рішенням представляє дляопераційних менеджерів великий інтерес, особливо при розв'я-занні завдань програмування як лінійного, так і нелінійного пла-ну. Тому дуже важливо розглядати цей окремий випадок (див.рис. 3.4) прямого рішення.

Позначимо координати К\, К2, К3 заданих точок через (хьУі), де i = 1, 2, 3.

з методів визначення оптимальної точки розміщення операцій-ної системи в топологічному розумінні залежно від перебування«проблемних» ресурсів. Крім того, вирішення даної проблемиможе бути доповнено і вибором частини відстані, на якій вигідневикористання для доставки «проблемного» ресурсу автомобіль-ним транспортом і частини відстані — для використання іншого,приміром, залізниці. Розглянемо також постановку завдання, ко-ристуючися геометричними поданнями П.Ф. Фільчакова.

Нехай дві залізничні станції А та В розташовані на l км однавід одної. У точку М «проблемний» ресурс для операційної сис-теми можна доставити зі станції А або по прямій (відрізок АМ)автотранспортом або залізницею до станції В, а звідти автотра-сою (рис. 3.5). При цьому залізничний тариф (ціна перевезення 1 тна 1 км) складає m грн., завантаження-розвантаження обходитьсяв k грн. (за 1 т) і тариф автотранспорту — n грн. (n > m). Опера-ційному менеджерові потрібно визначити «зону впливу» залізнич-ної станції В, тобто ту, в яку дешевше доставляти ресурс зі станціїА змішаним способом: залізницею і потім автошляхами.

Вирішення можна представити у такий спосіб. Вартістьдоставки 1 т сировини по шляху АМ складає

  • САМ = ra n ,            (3.20)

де ra = АМ.

Очевидно, лінією розподілу є гіпербола (див. рис. 3.5). Длявсіх зовнішніх точок цієї гіперболи більш вигідний перший варі-ант, а для внутрішніх — другий. Тому гіпербола й окреслить «зонувпливу» станції В. Друга частина гіперболи окреслить «зону впли-ву» станції А (ресурс доставляється зі станції В). Знайдемо па-раметри нашої гіперболи. її велика вісь

l• т + k .„

2a =     ,           (3.25)

n

а відстань між фокусами (якими є станції А та В) у даному ви-падку 2з = l. Таким чином умова можливості рішень, обумов-лена співвідношенням а < з, буде

k

n — т

У формулах табл. 3.3 використовуються наступні символи:

tn.K. — час на початково-кінцеві операції, доба (година);

L — відстань перевезення, км (миля);

Узн, Урн — норма пробігу залізничного вагона або судна задобу, км (миля);

tз.дoд, tр.дoд — час на додаткові операції на залізничному ірічковому транспорті, доба;

Уком — комерційна швидкість, миля/доба;

Тв — час на нагромадження, формування і відправленнявантажів, доба;

У ек — середня експлуатаційна швидкість, км/год.

На практиці під час формулювання загального завдання, крімобмежень (7.4), обумовлюється незаперечність всіх перемінних, тобто

xi = 0, і = 1, 2, ..., n...   (7.5)

Примітка. Якщо для деякого перемінного Xj з числа пошу-

кованих X1, X2, ..., xn, задано обмеження на знак типу

xj = 0,

то в завданні, що відтворено співвідношеннями (7.2) і (7.5) з цільо-вою функцією (7.3), замість Xj розглядається невідома x'j = -Xj,для якої в систему (7.5) вводиться обмеження

xj = 0.  (7.6)

Інші завдання математичного програмування — у тому числі

і такі, в яких обмеження і цільова функція аналогічні співвідно-шенням (7.2), (7.3) і (7.5), але введена додаткова вимога рівностіперемінних X1, X2, ..., xn, цілим числам) - відносяться до завданьнелінійного програмування.

Лінійне програмування досить широко використовуєтьсядля моделювання різних виробничих процесів, транспортних іекономічних завдань. Розглянемо одне з них — з оптимальногопланування операційної системи. Головна мета — досягненнямаксимального прибутку за виготовлення декількох видів про-дукції з орієнтуванням на наявні обмеження на сировину (тобтокількість одиниць видів сировини суворо регламентована і скла-дає, відповідно, а1, а2, ..., ат.

Сформулюємо завдання. Нехай з т різних видів сировинивиробляється n видів продукції. При цьому на виготовлення оди-ниці j-го виду продукції витрачається aj одиниць сировини і-говиду, а прибуток дорівнює Pj грн. З цього виходить, що наявнізапаси сировини можуть бути використані для виробництва різних

кількостей виробів кожного з розглянутих видів. Імовірно, щооптимальним буде план випуску такої кількості одиниць X1, X2, ...,xn кожного виду продукції, коли сумарний прибуток підприємствабуде найбільшим. Саме такий план відповідає максимальномузначенню лінійної функції

Z = P1X1 + p2 X2 + ... + Pn Xn...       (7.7)

Загальна кількість сировини першого виду, що йде на виго-товлення xi одиниць продукції першого виду, дорівнює ацХ1, азагальні витрати сировини першого виду на реалізацію оптималь-ного плану випуску складають

anx1 + a12 X2 + ... + a1nXn

і не можуть перевищувати наявної кількості а1 сировини. Цяумова передається обмеженням

anX1 + a 12X2 + ... + a1nXn < аь

Аналогічні міркування справедливі і щодо решти т-1 видів

сировини. Система обмежень у даному випадку записується так:

anX1 + a 12X2 + ... + a1nXn < а1;a21X1 + a22X2 + ... + a2n Xn < а2;         (7.8)

am1X1 + am2X2 + . • • + amnxn < ат.

А оскільки обсяг продукції, що випускається, не може ви-мірюватися негативними величинами, то повинні дотримувати-ся і додаткові умови

X1 = 0, X2 = 0, ..., Xn = 0...   (7.9)

Таке завдання цілковито відповідає завданню лінійного про-грамування з цільовою функцією (7.3) і обмеженнями (7.2), якщозамість максимуму функції Z знайти мінімум функції

  • Z' = - P1X1 - P2X2 - - PrXw        (7.10)

[1] — середнє значення незалежної перемінної х; y — середнє значення залежної перемінної у. Відрізок а, що відтинається на осі у, розраховується як

a = y - bx .

Крім трендових моделей, у прогнозуванні операційні ме- неджери досить широко використовують методи факторного прогнозу.

Методи факторного прогнозу засновані на виявленні при- чинно-наслідкового зв'язку між прогнозованими величинами і чинниками, що визначають їхній рівень. Наявність такого зв'яз- ку встановлюється в результаті теоретичного і фактичного ана- лізу реальних процесів поза моделлю. А тому і прогнозні моделі будуються на основі припущень і закономірностей, виявлених у результаті того ж аналізу.

Координати обчислюваної точки ОС (розташування опера- ційної системи) позначимо через (х, у). Сума відстаней від ОС до Kj (і = 1, 2, 3) визначиться як цільова функція мінімізації, що задовольняє умову ti < tx < t2, t2 < tx < t^.

ли кути в 120°. Однак цю точку не завжди можна знайти. Так, це відбувається, коли один з кутів трикутника, утвореного зада- ними точками, більший за 120° (у цьому випадку ОС збігається з однією з заданих точок). Можна також припустити, що задані три точки розташовані так, що існує точка ОС як така, коли прямі, що з'єднують її з заданими точками, утворять кути в 120°. Знай- дена при цьому точка розміщення операційної системи є не тільки взагалі стаціонарною, а це дійсно оптимальна точка.

Даний приклад з геометричним тлумаченням є лише одним

[3] >------------------------------------- , n > т .                              (3.26)

[4] огляду на вищенаведені співвідношення структура функцій витрат на ремонт технічних об'єктів операційної системи прий- ме вигляд: