§ 2.3. Математичні основи теорії факторного аналізу .

магниевый скраб beletage

Матриця даних

Математичним аспектам сучасного факторного аналізуприсвячено ряд робіт (монографій) вітчизняних і зарубіжних авторів.Як вид багатомірного статистичного аналізу, він, має свої сильні іслабкі сторони. Щоб мати уяву про це, необхідно поставити завданнядослідження теоретичних аспектів факторного аналізу, як науки.

В даному параграфі будуть розглянуті лише деякі основніелементи даного статистико - математичного методу в той мірі, вякій це необхідно для розуміння його практичної реалізації векономічних розрахунках.

Перш за все тут потрібний деякий обсяг елементарнихматематичних знань з алгебри, аналітичної геометрії і тригонометрії,а також розділів математики, у яких висвітлюються питанняматричної алгебри.

Економіко - математичні моделі, що використовуються сьогоднів різного роду економічних розрахунків, часто призначені для описувзаємозв'язку економічних структур, їх зміни в часі і просторі,залежності від ряду факторів і т.д. Вважається, що одним знайкомпактніших способів опису таких структур (інколи дужескладених) є спосіб матричного відображення.

Фактор, як розрахункова змінна у факторному аналізу, являєсобою деяку нову характеристику об'єктів досліджуваної множини.Розгляд (опис) його через призму набору вихідних ознак досягаєтьсяшляхом розрахунку так званої матриці. У факторному аналізізагальновживаний термін «матриця факторів» або «факторнаматриця». Інколи її називають «матрицею факторних навантажень»

Інакше, матриця - це прямокутний масив чисел, розташованихза рядками і стовпчиками. Така форма подання числових даних єзручною для їх математичної обробки. Перевага матричної формизапису полягає в тому, що в невеликому наборі символів не мовспресована множина математичних операцій, що надзвичайно зручнопри аналізі масових даних. Перш за все перевага виявляється напочатковому етапі обробки інформаційного масиву, тобто на етапіорганізації вихідних даних. Наприклад, розглянемо дані просередньорічні надої залежно від рівня годівлі корів і року їх лактації(табл. 108 ).

Таблиця 108

Середньорічний надій корів в залежності від лактації і рівня годівлі, кг

Рік лактації

Витрати кормів на 1 голову, ц.корм.од.

35-40

40-45

45 і вище

1

3500

3700

3900

2

3600

3900

4300

3

4100

4300

4700

4

4500

5000

5500

Наведену табличну інформацію можна записати у такій формі:3500       3700    3900

3600    3900    4300

4100    4300    4700

4500    5000    5500

Змістовне значення кожного показника визначається йогомісцем в даному масиві. Так, число 4300 в третьому рядку і другомустовпчику являє собою надій корів на третьому році лактації прирівні годівлі 40-45 ц кормових одиниць в рік. Аналогічновизначаємо, що числа, які занесені у стовпчик, характеризують надійпри однаковому рівні годівлі, але в різні лактаційні періоди, а числа,які записані в рядок, - надій корів одного і того ж року лактації, алепри різному рівні годівлі. Отже місце, що займає число в масиві,характеризує період лактації і рівень годівлі, до якого відноситьсянадій.

Як бачимо, елементи рядка чи кожного стовпчика володіютьякоюсь загальною властивістю. Елементами матриці. можуть бутичисла будь - якого виду чи навіть функцій однієї чи кількох змінних.Над числовими масивами такого типу можуть бути виконані різніалгебраїчні операції. При цьому виходять з припущення, що кожниймасив є єдине ціле і позначається одним символом. У подальшихміркуваннях будемо виходить з того, що елементи матриці є дійснічисла - додатні, від'ємні або нуль.

Доречно буде нагадати, що під матрицю розуміють прямокутнуабо квадратну таблицю чисел, яку розглядають безвідносно доіснуючих (чи неіснуючих) зв'язків між ними. Тобто є числа,розташовані у вигляді рядків і стовпчиків, мають формальнуматематичну схему, байдужну до природи заздалегідь визначенихзалежностей між цими числами.

Якщо позначити матрицю факторних навантажень через А,число ознак через n, число факторів - через m, то порядок аборозмірність матриці складе n х m. Квадратна матриця, (n х n) маєрозмірність n.

Елементи матриці позначаються двома підрядковими індексами,перший з яких означає номер рядка, другий - номер стовпчика.Наприклад, символ х32 вказує на елемент, що знаходиться наперетині третього рядку і другого стовпчика .

= А.

% -^32 *33

Схема квадратної матриці розмірністю 3 х 3

У загальному вигляді матриця записується такому вигляді

X

X

13

12

X

X

21

22

23-—

X„

X

Схема загального виду матриці

Загальний елемент матриці ^означає, що індекс рядка |г| можеприймати послідовне значення 1,2,3,...,m, а індекс стовпчика |j| -послідовне значення 1,2,3, ... n. Матриця А може бути вираженачерез загальний її елемент Xj.

Якщо рядки матриці стають стовпчиками, ми одержуємо новуматрицю, яка буде транспонована по відношенню до матриці А. Насхемі наведена матриця А і її транспонування (матриця А').

6

2

0

3

 

6

4

5

4

3

2

5

 

2

3

1

5

1

0

6

 

0

2

0

 

 

 

 

 

3

5

6

А         А'

Схема транспонування матриці А

Мають місце випадки, у факторному аналізі, коли квадратнаматриця збігається з транспонованою до неї матрицею, тоді матрицюА називають симетричною.

6 2 1

2 6 4 = А = А'.

1 4 8

Схема симетричної матриці.

У факторному аналізі має місце, як правило, робота зсиметричними матрицями. Прикладом такого виду може бутиматриця, елементи якої представлені коефіцієнтами кореляції зміннихсукупності, що вивчається.

Алгебраїчні операції над числовими масивами, поданими увигляді матриць, вивчає матрична алгебра, предметом якої є дії не зокремими елементами, а безпосередньо з масивами. Останнівиступають як відокремлені і цілісні системи.

Основні арифметичні дії з матрицями - це додавання,віднімання і множення.

Розглянемо порядок здійснення названих арифметичнихоперацій.

Додавання матриць. Наприклад, є дані про виробництвопродукції підприємством за липень (табл.109).

Таблиця 109

Обсяг виробництва продукції підприємством за липень, т

Вид продукції

Номер бригади

 

1

2

3

66

72

24

02

42

63

60

03

30

50

40

Зміст таблиці в матричній формі з розмірністю 3 х 3, буде таким:

66 72 24А = 42 63 60 .30 50 40

Маючи аналогічні дані про обсяг виробництва продукції внаступному місяці (серпень), запишемо їх у такому ж порядку увигляді матриці:

в =

34 42 30

30 50 2526 40 42

Загальний обсяг виробництва по виду продукції 0і, виробленої впершій бригаді, дорівнює сумі елементів, розташованих в кожнійматриці на перетині першого рядка і першого стовпчика: 66+34=100,а загальний обсяг виробництва продукції 02 за два місяці по третійбригаді становить 60+25=85. Матриця в такому випадку матимевигляд :

66 + 34 72 + 42 24 + 3042 + 30 63 + 50 60 + 2530 + 26 50 + 40 40 + 42

Числа, одержані в результаті додавання елементів двохматриць, характеризують (у даному випадку) обсяг виробництварізних видів продукції по бригадах за два місяці. Таким чином, сумадвох матриць являє собою матрицю, кожний елемент якої є сумавідповідних елементів матриць - доданків.

Додавання матриць можливо лише у випадку однакової їхрозмірності (mхп), тобто однаковій кількості рядків (m) і однаковійкількості стовпчиків (n). Такі матриці називають узгодженими длядодавання.

тт         15 5-26

Додавання матриць 3 2 4 і не має змісту

Якщо прийняти позначення А = \atj} і в = ^}, то сумою матриць Аі В буде матриця А + В = \atj + etj}.

Віднімання матриць. Подамо дані про виробництво продукціїза серпень за розглянутим вище прикладом з додаванням матриць увигляді таблиці 110.

Таблиця 110

Обсяг виробництва продукції підприємством за серпень, т

Вид продукції

Номер бригади

 

1

2

3

01

34

42

30

02

30

50

25

03

26

40

42

У матричному відображенні зміст таблиці матиме вигляд:

34 42 30В = 30 50 25 .26 40 42

 

100

114

54

=

72

113

85

 

50

90

82

Подамо обсяг виробленої продукції підприємством за липеньтакож у вигляді матриці:

Щоб визначити зміну в обсязі виробництва продукції 0і в серпніпорівняно з липнем, наприклад, в бригаді 3, необхідно від 30 відняти24; по продукції 02 відповідно 25-60 і т.д.

664230

726350

Подамо різницю в обсязі виробництва за два місяці в розрізібригад і видів продукції в матричному відображенні:

32 - 30-12 -13

34 - 6630 - 4226 - 30

6

- 352

42 - 7250 - 6340 - 50

30 -25 -42 -

4 -10

Одержана матриця характеризує різницю в обсягах виробництвапродукції різних видів у серпні порівняно з липнем по всіх бригадах.Проведені розрахунки ілюструють приклад віднімання матриць.Схематично це виглядає на умовному прикладі так:

2

3

 

3

4

 

-1

-1

 

6

8

-

5

8

=

1

0

або в - А

4

6

 

2

3

 

2

3

 

Здійснювати операцію віднімання можна тільки із матрицями,що мають однакову розмірність (порядок). Інакше кажучи, матриціузгоджені для додавання, узгоджені і для віднімання (і навпаки).

Множення матриць. Правило множення матриць випливає зправила їх додавання. Якщо подати : А + А = {a.J+a}={2x .}= 2A, то длявипадку, коли S - ціле додатне число, можна записати у вигляді SA=A+A+A+.. .+А.

Згідно з правилом додавання матриць одержимо:

SA = }.

?- А = Ь - j

Для скалярних величин (в даному випадку S) і матриць добутоквиглядатиме як матриця, в якій кожний елемент помножено на S.

добуток матиме вигляд:

Наприклад, при S= 6 і матриці

2

3

6

2 6

 

12

36

- 3 9

 

-18

54


При множенні матриці на матрицю необхідно уявитимногократне множення матриці на вектори. Так, при множенніматриці А на матрицю В подаємо матрицю В як набір векторів -стовпчиків. В такому випадку добуток АВ виглядатиме якпослідовно записані один за одним добутки матриці А на кожнийвектор - стовпчик, що утворює В.

Приклад. Маємо дві матриці:2 1

1 - 2 1

1 1

-1 20 122

А =

В =

3 2

Матрицю В подамо у вигляді двох векторів - стовпчиків:

 

-1

 

2

X =

0

і у =

1

 

2

 

2

Помноживши матрицю А на кожний з векторів - стовпчик матриці В,маємо;

Ах =

2х /-

1/+

1х 0

+

3 X 2

 

4

1*/-

1/+

/- 2/х 0

+

1х 2

 

1

3х/-

1/+

1х 0

+

1х 2

 

-1

4х /-

1/+

3 х 0

+

2 х 2

 

0

 

Ау-

2 х 2 +

1x1

+

3 х 2

 

11

1х 2 +

/- 2/х 1

+

1х 2

 

2

3 х 2 +

1x1

+

1х 2

 

9

4 х 2 +

3 х1

+

2 х 2

 

15

Розмістивши вектори один за одним, маємо добуток матриці АВ:


4

11

1

2

-1

9

0

15

-102

2

  • АВ

2

АВ =

Проведені операції в повному їх вигляді мають вид :

1

4 1112-1 90 15

До одержаного результату можна дійти іншим шляхом, послідовноперемноживши елементи матриць А і В, рухаючись по горизонталі впродовж і- того рядка матриці А і одночасно - вниз по j - тому стовпчику матриці В,потім додавши між собою всі ці добутки.

Сума добутків відповідних елементів утворює ij - й елемент матриці -добутку АВ.

Діючи за такою схемою, послідовно множимо елементи третього рядкаматриці А на елементи першого стовпчика матриці В:

3 х (-1) + 1х 0 + 1х 2 = -3 + 0 + 2 = -1.

Таким чином, елемент, що стоїть в третьому рядку матриці А і першомустовпчику матриці В, дорівнює -1.

Добуток матриць Ai В має зміст лише у тому випадку, коли j - йстовпчик матриці В (отже, і всі інші стовпчики) налічує таку жкількість елементів, що й і-й рядок матриці А (отже, і всі інші їїрядки).

Таким чином, в матриці В повинно бути стільки ж рядків,скільки стовпчиків має матриця А. Отже, добуток матриць А і Ввизначено тільки у випадку, коли число стовпчиків в матриці Адорівнює числу рядків в матриці В. Такі матриці називаютьузгодженими для множення А на В.

Приклад. Маємо матриці:

036 2

1 2 54 3 8

Оскільки А містить два стовпчики, а В- два рядки, існує добуток АВ.

АВ =

036 2

12 9 2414 18 27

1 2 54 3 8

Розмірність (порядок) добутку АВ складає 2 х 3. У даному випадкудобуток ВА не існує, бо матриця В містить три стовпчики, а матриця А - дварядки.

Згідно з законом матричної алгебри перед виконанням операційдодавання, віднімання і множення необхідно з'ясувати питання проузгодженість матриць.

Крім розглянутих вище з матрицями, існують й інші. Це-множення векторів, множення на діагональну матрицю, лінійніперетворення, трансформування матриць і т.д. Названі операціїдокладно викладені в курсі матричної алгебри.

У факторному аналізі найчастіше зустрічаються такі видиматриць: діагональна, скалярна, одинична, обернена.

Діагональна матриця - квадратична матриця, якавідрізняється від нуля тільки елементами, що лежать на діагоналі, яказв'язує верхній лівий край з правим нижнім краєм матриці (головнадіагональ).

Скалярна матриця - діагональна матриця, в якій всі елементирівні між собою.

Одинична матриця - діагональна матриця, в якій всі елементиголовної діагоналі дорівнюють одиниці. Цей вид матриці виконує вматричній алгебрі ту ж роль, що й одиниця в арифметиці.

Обернена матриця . Подавши найпростішу арифметичнузалежність у вигляді х •— = 1, яка означає, що добуток будь - якого

х

  • числа на обернене йому число дорівнює одиниці, можна знайтианалогічний зв'язок і в матричній алгебрі. Якщо матриця Аквадратна, то існує матриця, обернена їй А-1, або А А~' = 1.

Спосіб обчислення оберненої матриці досить складний.Названі види матриць схематично представлено:

а

0

0

0

 

a

0

0

0

 

1

0

0

0

0

в

0

0

 

0

a

0

0

 

0

1

0

0

0

0

с

0

 

0

0

a

0

 

0

0

1

0

0

0

0

d

 

0

0

0

a

 

0

0

0

1

а          в          с

Схеми видів матриць, які зустрічаються у факторному аналізі(а- діагональна, в - скалярна, с- одинична)